[論文レビュー] Using Catalan words and a $q$-shuffle algebra to describe a PBW basis for the positive part of $U_q({\widehat {\mathfrak{sl}}}_2)$

Paul Terwilliger|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、カタラン語と$q$-シャッフル代数を用いて、量子アフィン代数$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$の正部分のピカール＝バーキホフ＝ワイル（PBW）基底要素の閉形式を提示する。PBW基底要素$E_{n\delta+\alpha_0}$、$E_{n\delta+\alpha_1}$、$E_{n\delta}$が単射代数準同型$\natural$によって特定の$q$-変形カタラン語の和へ写されることが示され、それらの構造が$q$-シャッフル積を用いて明らかにされ、関連する要素$C_n$が$q$-シャッフル代数内で互いに可換であることが証明される。

ABSTRACT

The positive part $U^+_q$ of $U_q({\widehat {\mathfrak{sl}}}_2)$ has a presentation with two generators $A,B$ that satisfy the cubic $q$-Serre relations. In 1993 I. Damiani obtained a PBW basis for $U^+_q$, consisting of some elements $\lbrace E_{nδ+α_0} brace_{n=0}^\infty$, $\lbrace E_{nδ+α_1} brace_{n=0}^\infty$, $\lbrace E_{nδ} brace_{n=1}^\infty$ that are defined recursively. Our goal is to describe these elements in closed form. We achieve this goal using Catalan words and a $q$-shuffle algebra.

研究の動機と目的

• 量子アフィン代数$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$の正部分$U_q^+$の再帰的に定義されたPBW基底要素の閉形式表現を提供すること。
• この基底要素の像を、$x,y$を生成子とする自由代数$\mathbb{V}$に$q$-シャッフル積を備えた単射代数準同型$\natural: U_q^+ \to \mathbb{V}$を用いて記述すること。
• $C_n$をカタラン語の$q$-変形和として定義し、量子群理論と組合せ論を$q$-変形語構造を通じて結びつけること。
• $C_n$が$q$-シャッフル代数内で互いに可換であることを、$\natural$によるPBW基底の像を用いて確立すること。

提案手法

• 生成子$x,y$を備えた$q$-シャッフル代数$\mathbb{V}$を定義し、積を$u \star v = uv + q^{\langle u,v \rangle} vu$とする。ここで$\langle x,x\rangle = \langle y,y\rangle = 2$、$\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle = -2$とする。
• ロッソの$q$-シャッフル代数構造を用い、$A \mapsto x$、$B \mapsto y$を写像とする単射代数準同型$\natural: U_q^+ \to \mathbb{V}$を定義する。
• カタラン語を、$\overline{x} = 1$、$\overline{y} = -1$の累積和が長さ$2n-1$まで非負で、長さ$2n$でゼロとなる$x,y$の列として定義する。
• $C_n = \sum_{\text{長さ } 2n \text{ のカタラン語}} a_1 \cdots a_{2n} \cdot [1]_q [1 + \overline{a}_1]_q \cdots [1 + \sum_{i=1}^{2n} \overline{a}_i]_q$を定義し、これは長さ$2n$のカタラン語の和に対する$q$-変形である。
• ダミアーニの再帰的に定義されたPBW基底要素に$\natural$を適用し、その像を$n \geq 1$に対して$q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} x C_n$、$q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} C_n y$、$-q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n-1} C_n$として表現する。
• $\natural$の単射性と、$U_q^+$における$\{E_{n\delta}\}_{n=1}^\infty$の既知の可換性から、$\{C_n\}_{n=1}^\infty$が$q$-シャッフル代数内で可換であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的に定義された$U_q^+(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$のPBW基底要素$E_{n\delta+\alpha_0}, E_{n\delta+\alpha_1}, E_{n\delta}$は、閉形式で表現可能か？
• RQ2 $\natural$による$q$-シャッフル代数による$U_q^+$の実現において、これらのPBW基底要素はどのように写されるか？
• RQ3 PBW基底要素の像は、自由代数$\mathbb{V}$内でどのような組合せ的構造を持つか？
• RQ4 $C_n$がカタラン語の$q$-変形和として定義されるとき、$q$-シャッフル代数内で可換か？
• RQ5 $q$-シャッフル代数構造を用いて、$C_n$要素間の関係を導出可能か？

主な発見

• $\natural$による$E_{n\delta+\alpha_0}$の像は、$n \geq 0$に対して$q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} x C_n$である。
• $\natural$による$E_{n\delta+\alpha_1}$の像は、$n \geq 0$に対して$q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} C_n y$である。
• $\natural$による$E_{n\delta}$の像は、$n \geq 1$に対して$-q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n-1} C_n$である。
• 長さ$2n$のカタラン語の$q$-変形和として定義される要素$C_n$は、$q$-シャッフル代数$\mathbb{V}$内で互いに可換である。
• $xC_i$、$C_j y$、$C_n$間の$q$-シャッフル代数の関係は、量子セール関係とPBW基底構造から導かれ、$q$-変形和と係数を含む明示的式が得られる。
• $q$-シャッフル代数は、$q$-変形カタラン語和を用いて、$U_q^+(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$のPBW基底を実現する組合せ的枠組みを提供する。