[論文レビュー] Using neural networks to solve the 2D Poisson equation for electric field computation in plasma fluid simulations

Lionel Cheng, Ekhi Ajuria Illarramendi+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

この論文では、2次元ポアソン方程式の解法を高速化する物理情報付き畳み込みニューラルネットワーク（CNN）であるPlasmaNetを提案する。この手法は、従来のスケーラブルなソルバーと比較して高い精度と高速化を達成し、非定常なオイラー方程式とも安定に結合可能である。物理的損失関数を用いることで、複雑な境界条件とマルチフィジックス結合を伴う電子プラズマ振動およびストリーマ放電の効率的シミュレーションが可能である。

ABSTRACT

The Poisson equation is critical to get a self-consistent solution in plasma fluid simulations used for Hall effect thrusters and streamer discharges, since the Poisson solution appears as a source term of the unsteady nonlinear flow equations. As a first step, solving the 2D Poisson equation with zero Dirichlet boundary conditions using a deep neural network is investigated using multiple-scale architectures, defined in terms of number of branches, depth and receptive field. One key objective is to better understand how neural networks learn the Poisson solutions and provide guidelines to achieve optimal network configurations, especially when coupled to the time-varying Euler equations with plasma source terms. Here, the Receptive Field is found critical to correctly capture large topological structures of the field. The investigation of multiple architectures, losses, and hyperparameters provides an optimal network to solve accurately the steady Poisson problem. The performance of the optimal neural network solver, called PlasmaNet, is then monitored on meshes with increasing number of nodes, and compared with classical parallel linear solvers. Next, PlasmaNet is coupled with an unsteady Euler plasma fluid equations solver in the context of the electron plasma oscillation test case. In this time-evolving problem, a physical loss is necessary to produce a stable simulation. PlasmaNet is finally tested on a more complex case of discharge propagation involving chemistry and advection. The guidelines established in previous sections are applied to build the CNN to solve the same Poisson equation in cylindrical coordinates with different boundary conditions. Results reveal good CNN predictions and pave the way to new computational strategies using modern GPU-based hardware to predict unsteady problems involving a Poisson equation.

研究の動機と目的

• 自己自己一貫性のあるプラズマモデリングにおける主要なボトルネックである2次元ポアソン方程式の解法を高速化すること。
• 深層ニューラルネットワークが、異なるアーキテクチャ、損失関数、ハイパーパrameterの下でポアソン方程式の解をどのように学習するかを調査すること。
• 時間依存の流体方程式と結合可能なデータ駆動型代理ソルバーを構築すること。
• 特に受容 field とアーキテクチャの観点から、複雑な境界条件を伴う楕円型PDEを解く際の最適なCNN設定を確立すること。
• 円筒座標系や化学反応結合付きの放電伝播を含む、代表的かつ複雑なプラズマケースにおける手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• マルチスケールアーキテクチャを用いて、ゼロディリクレ境界条件を満たす2次元ポアソン方程式を解くための深層畳み込みニューラルネットワーク（PlasmaNet）を訓練する。
• 物理的整合性を強制するために、ポアソン方程式における残差誤差をペナルティとする物理的損失関数を用いてネットワークを訓練する。
• 一般化性能と精度の最適化を目的として、ネットワークの深さ、ブランチ数、受容 field サイズのハイパーパrameterサーチを実施する。
• モデルはまず定常状態問題で訓練され、その後、時間発展シミュレーション用に非定常オイラープラズマ流体ソルバーと結合される。
• 時間依存ケースにおける誤差蓄積を防ぎ、長期的なシミュレーションを安定化させるために、物理的損失関数を導入する。
• 混合ディリクレ・ノイマン境界条件を伴う円筒座標系への応用を拡張し、デカルト座標を超えた一般化の有効性を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特に受容 field、深さ、ブランチ数といったアーキテクチャハイパーパrameterが、2次元ポアソン方程式のニューラルネットワーク解の精度にどのように影響するか？
• RQ2 物理情報付きニューラルネットワークは、GPUハードウェア上で顕著な高速化を達成しつつ、古典的線形ソルバーと同等またはそれ以上の精度を達成できるか？
• RQ3 ニューラルネットワークを非定常流体方程式と結合した場合、物理的損失関数が時間発展シミュレーションの安定化に果たす役割は何か？
• RQ4 訓練済みニューラルネットワークは、円筒座標系における混合ディリクレ・ノイマン境界条件など、異なる境界条件にどの程度一般化できるか？
• RQ5 化学反応、対流、マルチフィジックス結合を含む複雑なプラズマシミュレーションにおいて、ネットワークは効果的に利用可能か？

主な発見

• PlasmaNetはゼロディリクレ境界条件を満たす2次元ポアソン方程式を高い精度で解き、GPUハードウェア上でのスピードアップの観点で、古典的反復ソルバーを上回った。
• 受容 field は、電場ポテンシャル分野における大規模なトポロジカル構造を捉える上で極めて重要であることが判明した。
• 非定常オイラー方程式とニューラルネットワークを結合する際、長期的なシミュレーションの安定化には物理的損失関数が不可欠である。
• ハイパーパrameterサーチにより特定された最適なネットワーク設定は、電子プラズマ振動や二重ヘッドストリーマ放電を含む複数のテストケースにおいて、正確な予測を達成した。
• 混合境界条件を伴う円筒座標系への一般化が良好に実現されており、複雑なプラズマ幾何形状へのロバストネスと転送可能性が示された。
• 複数物理場の結合を伴うプラズマ流体シミュレーションにおいて顕著な計算高速化が実現可能であり、リアルタイムまたは高スルーレットシミュレーション戦略の実現に道を開いた。