[論文レビュー] Using the subspace theorem to bound unit distances

Ryan Schwartz|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素数乗法的部分群（有限ランク）から生じる単位距離の数を、部分空間定理を用いて平面で評価する。$ r \leq c \log n $ のとき、このような単位距離の数は $ n^{1+\varepsilon} $ 未満であることが示され、既存の円分単根に関する結果を拡張し、エレミスの下界構成がこのような群から生じることを確認する。

ABSTRACT

We prove a special case of Erdős' unit distance problem using a corollary of the subspace theorem bounding the number of solutions of linear equations from a multiplicative group. We restrict our attention to unit distances coming from a multiplicative group of rank $r$ not too large. Specifically, given $\varepsilon>0$ and $n$ points in the plane, we construct the unit distance graph from these points and distances and use the corollary above to bound certain paths of length $k$ in the graph giving at most $n^{1+\varepsilon}$ unit distances from the group above. We require that the rank $r\le c\log n$ for some $c>0$ depending on $\varepsilon$. This extends a result of József Solymosi, Frank de Zeeuw and the author where we only considered unit distances that are roots of unity. Lastly we show that the lower bound configuration for the unit distance problem of Erdős consists of unit distances from a multiplicative subgroup of the form above.

研究の動機と目的

• 複素数乗法群 $\mathbb{C}^*$ の有限ランク部分群に由来する単位距離の数に対する、円分単根に関する既存の境界をより一般的な有限ランク乗法的部分群へと拡張すること。
• アモローゾとヴィアダの結果から得られる定量的系を用いて、部分空間定理を適用し、このような群における線形方程式の非退化解の数を制御すること。
• ランク $ r \leq c\log n $ の群から生じる単位距離の数が、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ n^{1+\varepsilon} $ 未満であることを示し、以前の結果を改善すること。
• エレミスの単位距離問題における既知の下界構成が、このような有限ランク乗法的部分群から生じることを示すこと。
• 特に部分空間定理を用いた代数的数論とディオファントス近似の手法を統合し、単位距離の解析を統一すること。

提案手法

• 有限ランク乗法的部分群 $ \Gamma \subset \mathbb{C}^* $ に属する $ z_i $ を持つ線形方程式 $ a_1z_1 + \cdots + a_kz_k = 1 $ の非退化解の数を制限する部分空間定理の系を用いる。
• アモローゾとヴィアダが得た改良された境界 $ A(k,r) \leq (8k)^{4k^4(k + kr + 1)} $ を適用し、このような解の数を制御する。
• 平面内の $ n $ 個の点からなる単位距離グラフを構成し、辺は $ \Gamma $ から生じる単位距離に対応させ、グラフ理論的道具を用いて経路を解析する。
• 最小次数が $ (c/2)n^\alpha $ 以上である部分グラフ $ H $ を抽出するための補題を用いる。これにより、経路数え上げに適した十分な辺密度が保証される。
• グラフ内の長さ $ k $ の冗長でない経路の数を数え、最小次数の下界を用いてその数の下界を導出する。
• 単位距離の数が $ n^{1+\varepsilon} $ を超えると、部分空間定理からの上界を上回る経路数が得られることを示し、矛盾を導くことで、主的な境界が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分空間定理を用いて、複素数乗法群 $ \mathbb{C}^* $ の有限ランク部分群から生じる単位距離の数を平面で評価できるか？
• RQ2 単位距離の方向がランク $ r \leq c\log n $ の乗法的部分群に属する場合、最大で何個の単位距離が可能か？
• RQ3 エレミスの単位距離問題における既知の下界構成は、有限ランク乗法的部分群に由来する単位距離を生成するか？
• RQ4 部分空間定理の使用は、マンの結果のような根の和に基づく従来の手法よりもどのように改善されるか？
• RQ5 単位方向の乗法的群のランクと、単位距離の数の増加率との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、ある $ n_0 = n_0(\varepsilon) $ が存在し、$ n > n_0 $ のとき、ランク $ r \leq c\log n $ の乗法的部分群 $ \Gamma \subset \mathbb{C}^* $ から生じる単位距離の数は $ n^{1+\varepsilon} $ 未満である。ここで $ c = c(\varepsilon) > 0 $ である。
• この境界は、単位距離グラフ内の冗長でない経路の数を部分空間定理で制御することで得られ、単位距離が多すぎると矛盾が生じる。
• 円分単根（ランク 0 に相当）に関する既存の研究を、より高いランクの群へと拡張し、ランク条件の下で同じ $ n^{1+\varepsilon} $ の境界が成り立つことを示した。
• エレミスの下界構成（$ \sqrt{n} \times \sqrt{n} $ グリッド）は、ランクが $ r \leq 16\log n / \log\log n - 1 $ 未満の $ \mathbb{C}^* $ の乗法的部分群から生じる単位距離を生成する。
• このランクの上限は $ n $ が十分に大きいと $ \leq c\log n $ に漸近的に収束するため、この構成は主定理の仮定を満たしており、上界と整合的であることが確認された。
• この解析では、ガウス整数 $ \mathbb{Z}[i] $ の一意分解性を用いて、二乗和としての整数の表現数を数え、グリッド構成における単位ベクトルに対応させる。