[論文レビュー] Utility maximization in incomplete markets

Ying Hu, Peter Imkeller+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Aug 24, 2005

Economic theories and models被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、非凸取引制約を伴う不完全市場における効用最大化のための新規アプローチを開発する。これは、終期における純資産の効用に等しい終期値を持つスーパーマルティンググール過程を構築することで達成される。最適戦略は、この過程がマルティンググールとなる戦略として特定され、価値関数はこのマルティンググールの初期値として単純に与えられる。一般の閉制約集合の下で、指数型、累乗型、対数型の効用関数に対して、後向き確率微分方程式（BSDEs）を用いて導出される。

ABSTRACT

We consider the problem of utility maximization for small traders on incomplete financial markets. As opposed to most of the papers dealing with this subject, the investors' trading strategies we allow underly constraints described by closed, but not necessarily convex, sets. The final wealths obtained by trading under these constraints are identified as stochastic processes which usually are supermartingales, and even martingales for particular strategies. These strategies are seen to be optimal, and the corresponding value functions determined simply by the initial values of the supermartingales. We separately treat the cases of exponential, power and logarithmic utility.

研究の動機と目的

• 取引戦略が閉集合で非凸であるという制約のもとで、標準的な凸錐仮定を超えて、不完全市場における効用最大化を扱う。
• 先行研究で一般的に用いられる双対性手法に依存せずに、最適取引戦略と価値関数を特徴付ける。
• 一般の制約構造の下で、指数型、累乗型、対数型の3つの主要な効用関数に対して明示的な解を提供する。
• 価値関数が特定のスーパーマルティンググール過程の初期値に等しく、その過程がマルティンググールとなるときに最適性が達成されることを確立する。
• ウィナー・フィルター付き確率空間において、後向き確率微分方程式（BSDEs）を用いて最適戦略と価値関数を構築する。

提案手法

• 取引戦略 $ \rho $ に依存する確率過程 $ R^\rho $ を定義し、$ R^\rho_T $ が終期における純資産の効用に等しくなるようにする。
• すべての許容可能な戦略 $ \rho $ に対して $ R^\rho $ がスーパーマルティンググールであることを保証し、特定の戦略 $ \rho^* $ に対して $ R^{\rho^*} $ がマルティンググールとなることを同定する。
• 価値関数として $ R^{\rho^*} $ の初期値を用いる。これは、マルティンググールが初期期待値を保存することを利用している。
• 最適戦略 $ \rho^* $ を制約集合 $ C_t $ への射影を用いて構築する。具体的には $ \rho^*_t = \Pi_{C_t}(\theta_t) $ とし、ここで $ \theta_t $ は市場リスクプレミアムである。
• 価値関数と最適戦略を生成する過程 $ (Y,Z) $ を解くために、後向き確率微分方程式（BSDEs）を用いる。
• 可積分性および有界性の条件下で、$ R^\rho $ の確率積分がマルティンググールであることを確認し、すべての $ \rho $ に対してスーパーマルティンググール性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 取引戦略が閉集合で非凸であるという制約のもとで、不完全市場における効用最大化はどのように解けるか？
• RQ2 制約集合に凸性がない場合、最適戦略と価値関数の特徴づけはどのように行われるか？
• RQ3 スーパーマルティンググールとマルティンググールの双対性を用いることで、プライマル効用最大化問題の解法はどのように簡素化されるか？
• RQ4 一般の閉制約の下で、指数型、累乗型、対数型の効用関数に対して、価値関数と最適戦略の明示的形は何か？
• RQ5 双対性に依存せずに、後向き確率微分方程式（BSDEs）を用いてプライマル問題を直接解くことは可能か？

主な発見

• 効用最大化問題の価値関数は、最適戦略 $ \rho^* $ に対応するマルティンググール $ R^{\rho^*} $ の初期値として与えられ、これは戦略とは無関係に成立する。
• 対数効用関数の場合、価値関数は $ V(x) = \log(x) + \mathbb{E}\left[ -\int_0^T f(s)\,ds \right] $ である。ここで $ f(s) = \frac{1}{2} \text{dist}^2(\theta_s, C_s) - \frac{1}{2}|\theta_s|^2 $ である。
• 最適戦略 $ \rho^* $ は $ \rho^*_t = \Pi_{C_t}(\theta_t) $ を満たす。すなわち、時刻 $ t $ における市場リスクプレミアムを制約集合 $ C_t $ に射影した結果であり、実行可能性と最適性を保証する。
• 与えられた可積分性および有界性の仮定のもとで、過程 $ R^\rho $ の確率積分はマルティンググールである。これにより、すべての $ \rho $ に対してスーパーマルティンググール性が保証される。
• 制約集合が凸錐である場合、累乗型効用の解は、Sekineの結果と整合的であり、本手法が先行研究と整合的であることを検証する。
• BSDEの使用により、双対性に依存せずにプライマル問題を直接解くことが可能となり、凸性から閉集合への制約への拡張が可能になる。