[論文レビュー] Utility maximization in incomplete markets with default

Thomas Lim, Marie-Claire Quenez|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、デフォルトリスクを伴う不完全市場における指数的効用最大化およびインディフェレンス価格の問題を、後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて研究している。効用最大化の価値関数がリプシッツ型BSDEの最大の部分解であることが確立され、インディフェレンス価格はこのBSDE枠組みを介して特徴付けられ、有界戦略による近似によって数値計算が可能となる。

ABSTRACT

We adress the maximization problem of expected utility from terminal wealth. The special feature of this paper is that we consider a financial market where the price process of risky assets can have a default time. Using dynamic programming, we characterize the value function with a backward stochastic differential equation and the optimal portfolio policies. We separately treat the cases of exponential, power and logarithmic utility.

研究の動機と目的

• デフォルト時を伴う不完全市場における指数的効用最大化の価値関数を特徴付けること。
• 効用最大化と後向き確率微分方程式（BSDE）の解との間の関係を確立すること。
• 有界戦略による近似を通じて、非有界許容戦略に対する動的計画法のアプローチを開発すること。
• 価値関数とBSDE理論を用いてインディフェレンス価格を特徴付けること。
• この枠組みを複数のデフォルト時またはポアソン過程へと拡張すること。

提案手法

• 有界係数のもとで、有界戦略の価値関数がリプシッツ型BSDEを満たすことを検証定理を用いて示す。
• 動的計画法の原則を適用し、非有界戦略の価値関数をBSDEの最大部分解として特徴付ける。
• 各々がリプシッツ型BSDEを満たす有界許容戦略による近似列を用いて、価値関数の近似列を構築する。
• ドーブ＝マイヤー分解および下 martingale 性質を用いて、BSDEの生成子を導出する。
• 本質的下界および最適性基準を用いて最適戦略を特定し、解の妥当性を検証する。
• 理論を応用し、価値関数から導かれる2次型BSDEの解としてインディフェレンス価格を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一のデフォルト時を伴う不完全市場における指数的効用最大化の価値関数は、どのように特徴付けられるか？
• RQ2 後向き確率微分方程式（BSDE）は、デフォルトリスク下での動的価値関数をどのように表現するか？
• RQ3 有界許容戦略の文脈において、検証定理を用いて最適戦略をどのように特定できるか？
• RQ4 有界性制約が存在しない場合、動的計画法およびBSDEを用いて価値関数はどのように特徴付けられるか？
• RQ5 この枠組みにおいて、オプション・コンテント・クレームのインディフェレンス価格は、BSDEの解から導出可能か？

主な発見

• 有界戦略における指数的効用最大化の価値関数は、有界係数のもとでリプシッツ型BSDEの解として特徴付けられる。
• 非有界戦略では、価値関数はBSDEの最大部分解として特徴付けられ、これは有界ケースの一般化である。
• 価値関数は、各々がリプシッツ型BSDEを満たす近似有界戦略に関連する価値関数の列の極限として表される。
• 最適戦略は、資産の指数の下 martingale 性質とBSDEの解を結ぶ検証定理により特定される。
• オプション・コンテント・クレームのインディフェレンス価格は、価値関数から導かれる2次型BSDEの解として特徴付けられる。
• この枠組みは、複数のデフォルト時またはポアソン過程へと拡張可能であり、BSDEによる特徴付けが保たれる。