[論文レビュー] Utilizing Bochners Theorem for Constrained Evaluation of Missing Fourier Data

Jonathan Nemirovsky, Efrat Shimron|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Statistical and numerical algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ボフナーの定理を用いて、医用画像におけるフーリエドメイン（k空間）データの欠損を補完する新規手法、Bochner不等式k空間補完（BICKS）を紹介する。非負性および信号の実数性を活用することで、サブ・ナイキスト採択レートでさえも高精度な画像再構成を可能にし、最小限のサンプルで顕著な画像品質の向上を実現する。

ABSTRACT

A method is presented for estimating unknown Fourier domain (k-space) data using a small number of samples in that space. The method is derived from Bochners Theorem, and is termed: Bochner Inequality Completion of K-Space (BICKS). It is suitable for filling the k-space of a real and nonnegative unknown quantity, and applicable even when the sampling rate is substantially lower than the Nyquist sampling rate. The BICKS method is demonstrated in the context of medical imaging, but it is also applicable to many other scientific areas that utilize signal processing in Fourier domain. The results indicate that filling a highly undersampled k-space using BICKS enables high quality image reconstruction.

研究の動機と目的

• サンプリングが疎または不完全な状況下で、k空間データの欠損を補完する課題に対処すること。
• 信号の性質（実数性および非負性など）から導かれる制約を強制することで、物理的に妥当な再構成を保証する手法の開発。
• 従来の補間法や圧縮センシング手法を上回る、極めてアンダーサンプリングされたk空間データからの高品質な画像再構成を可能にすること。
• k空間補完のための制約付きフレームワークをボフナーの定理に基づいて数学的に裏付けたものとして提供すること。
• 医用画像診断を超えた、限られたデータでフーリエドメイン信号再構成を必要とするあらゆる分野への応用可能性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、非負定値関数をそのフーリエ変換によって特徴付けるボフナーの定理に基づいて導出される。
• 定理が要求する逆フーリエ変換が非負かつ実数であることから、未知のk空間データに制約を設定する。
• 既知のサンプルからのずれを最小化しつつ、これらの制約を満たす凸最適化問題を解く。
• 元の信号が実数かつ非負であると仮定することで、ボフナーの定理を用いてk空間内の妥当領域を定義可能となる。
• ボフナーの定理から導かれる不等式制約を用いて、欠損k空間サンプルの取り得る値の範囲を制限する。
• 制約付き最適化により解を計算することで、極めて低い採択密度下でも物理的整合性と安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボフナーの定理は、フーリエドメイン再構成における欠損k空間データの制約と補完に効果的に適用可能か？
• RQ2 本手法を用いてk空間をナイキストレート未満にアンダーサンプリングした場合、画像品質はどの程度維持可能か？
• RQ3 従来の補間法や圧縮センシングと比較して、BICKS手法の再構成忠実度およびロバスト性はいかがなっているか？
• RQ4 信号の非負性および実数性は、k空間補完の可能性と精度にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 本手法は、医用画像診断を超えた、フーリエドメイン処理に依存する他の科学分野へ一般化可能か？

主な発見

• BICKSは、ナイキストレートを著しく下回る採択レートでも、極めてアンダーサンプリングされたk空間データから高品質な画像再構成を可能にする。
• ボフナーの定理から導かれる制約を強制することで、安定的かつ物理的に妥当な再構成が得られる。
• 非負性および実数性の制約を用いることで、制約なし手法と比較して再構成精度が顕著に向上する。
• 本手法は低採択密度に対してもロバストであり、従来手法が失敗する状況でも画像忠実度を維持する。
• 医用画像診断における実証により、BICKSは最小限の入力データで競争力ある、あるいはそれ以上の画像品質を達成している。
• 本手法は、元の信号が実数かつ非負であるあらゆる分野に一般化可能であり、医用画像診断を超えた応用範囲を有する。