[論文レビュー] V.A. Steklov and the Problem of Sharp (Exact) Constants in Inequalities of Mathematical Physics

Alexander I. Nazarov, Nikolay Kuznetsov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、数学的物理における不等式の鋭い定数の確立に貢献したV.A. ステクロフの基礎的役割を概説し、特にソボレフ型およびポincare型不等式における最適な境界の特定に焦点を当てる。$ L^p $-ノルム不等式における勾配を含む不等式の鋭い定数の達成を、ディリクレ問題およびステクロフ問題の固有値特性と関連づけ、さまざまな領域および臨界指数におけるこれらの定数が達成される条件を確立する。

ABSTRACT

The 150th anniversary of the birth of the outstanding Russian mathematician Vladimir Andreevich Steklov falls on January 9, 2014. In this paper (it is a part of survey to be published in January 2014), we describe advances in one of several areas influenced by Steklov's work.

研究の動機と目的

• V.A. ステクロフが開始した不等式における鋭い定数の歴史的および数学的発展をたどること。
• $ L^p $-ソボレフ型およびポincare型不等式における鋭い定数が達成される条件を分析すること。
• トレース不等式における鋭い定数と半空間におけるトレース不等式の基本定数との関係を確立すること。
• 臨界および亜臨界ケースにおける最適定数の達成可能性にあたって、領域の幾何学的性質および正則性が果たす役割を調査すること。

提案手法

• 正規直交系の閉包方程式を、鋭い定数を伴う不等式を導出する基盤的ツールとして用いる。
• 変分法およびスペクトル論を適用し、ディリクレおよびステクロフラプラシアンの固有値と不等式における鋭い定数を関連付ける。
• 質量輸送法を用いて、半空間における臨界トレース不等式の極値関数を証明する。
• 特殊関数およびベータ関数を用いて、トレース不等式における鋭い定数の明示的表現を導出する。
• 有界な $ C^2 $-領域における鋭い定数の達成可能性を、半空間の場合と比較することで分析する。
• 鋭い定数が達成される臨界指数の条件（$ p < \frac{n+1}{2} + \beta $）を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な $ C^2 $-領域において、ソボレフ–ポincare不等式における鋭い定数はどのような条件下で達成されるか？
• RQ2 領域上におけるトレース不等式の鋭い定数と半空間におけるトレース不等式の基本定数との正確な関係は何か？
• RQ3 ステクロフ問題の固有値は、境界トレース不等式における鋭い定数とどのように関係しているか？
• RQ4 臨界トレース不等式における極値関数および正確な鋭い定数の値は何か？（$ p > 1 $ の場合）
• RQ5 どの範囲の $ p $ および $ n $ に対して、$ C^2 $-領域におけるトレース不等式の鋭い定数が達成可能か？

主な発見

• 任意の有界な $ C^2 $-領域において、$ 1 < p < \frac{n+1}{2} + \beta $（$ \beta > 0 $）のとき、ソボレフ–ポincare不等式における鋭い定数は達成される。
• 半空間 $ \rm I\rm I\rm I\rm I\rm R^n_+ $ における臨界トレース不等式では、鋭い定数は $ C_3(n,p) = \bigl( \frac{p-1}{n-p} \bigr)^{1/p'} \bigl[ \frac{\rho_{n-2}}{2} \beta\bigl( \frac{n-1}{2}, \frac{n-1}{2(p-1)} \bigr) \bigr]^{-1/((n-1)p')} $ であり、$ C_3(n,1) = 1 $ である。
• 臨界トレース不等式の極値関数は、$ x^* \notin \rm I\rm I\rm I\rm I\rm R^n_+ $ のとき $ |x - x^*|^{-(n-p)/(p-1)} $ であり、一般の $ p > 1 $ に対して[38]で証明されている。
• 境界トレース不等式 (8) において、鋭い定数は $ \bigl( \frac{1}{\text{ステクロフ問題の最小固有値}} \bigr)^{1/2} $ に等しい。ここで固有値問題は、ノイマンおよびステクロフ境界条件を含む。
• $ n=2 $ の場合、脚の長さが $ a $ の $ 45^\text{th} $ 直角三角形において、最小のステクロフ固有値は $ \frac{z_1^{(1)} \tanh(z_1^{(1)})}{a} \to \frac{2.3236}{a} $ となり、$ G $ が斜辺であるときの極限値をとる。
• $ C > C_3(n,p) $ ならば、$ n \neq 2 $ かつ $ 1 < p < \frac{n+1}{2} + \beta $ のとき、任意の有界な $ C^2 $-領域 $ \rm I\rm I\rm I\rm I\rm R^n $ において、トレース不等式における鋭い定数は達成される。