[論文レビュー] Values of the Euler phi function not divisible by a prescribed odd prime

Pieter Moree|ArXiv.org|Nov 16, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定された奇素数 $q$ に対して $q \nmid \varphi(n)$ を満たす整数 $n \leq x$ の個数を数える関数 ${\cal E}_q(x)$ について、より高精度な漸近展開を提供する。Frobenian集合と円分体のDedekindゼータ関数を用いて、SpearmanとWilliamsの結果を、Poincaré型の完全な漸近級数にまで精緻化する。さらに、GRHのもとで、各 $q$ に対して、Ramanujan型または単純な対数積分近似のどちらが漸近的に優れているかを特定する。

ABSTRACT

Let phi denote Euler's phi function. For a fixed odd prime we give an asymptotic series expansion in the sense of Poincare for the number E_q(x) of n<=x such that q does not divide phi(n). Thereby we improve on a recent theorem of B.K. Spearman and K.S. Williams [Ark. Mat. 44 (2006), 166-181]. Furthermore we resolve, under the Generalized Riemann Hypothesis, which of two approximations to E_q(x) is asymptotically superior using recent results of Y. Ihara on the Euler-Kronecker constant of a number field.

研究の動機と目的

• SpearmanとWilliamsの、$q$ を奇素数として $n \leq x$ かつ $q \nmid \varphi(n)$ を満たす整数の個数に対する漸近的推定値を改善すること。
• Poincaréの意味での完全な漸近級数展開 ${\cal E}_q(x)$ を得ることで、主項の推定値を精緻化すること。
• 一般化リーマン予想（GRH）のもとで、2つの近似法（単純型とRamanujan型）のうち、各 $q$ に対してどちらが漸近的に優れているかを解明すること。
• Euler積によるDedekindゼータ関数の表現を用いて、元の式における定数 $C(q)$ を $C(q,1)$ として再解釈し、その証明を簡略化すること。
• 円分体のEuler-Kronecker定数と ${\cal E}_q(x)$ の漸近的挙動との間の関係を確立すること。

提案手法

• SpearmanとWilliamsの結果を拡張するため、特にガロア拡大におけるFrobenius密度を用いた、$q \nmid \varphi(n)$ を満たす整数 $n$ の乗法的構造をモデル化するFrobenian集合の理論を適用する。
• cyclotomic field $K(q) = \mathbb{Q}(\zeta_q)$ のDedekindゼータ関数 $\zeta_{K(q)}(s)$ を用いて、${\cal E}_q(x)$ の漸近的挙動を支配する生成ディリクレ級数 $h_q(s)$ を定義する。
• $h_q(s)/s$ を $s=1$ の周りに展開し、$(q-2)/(q-1)$ 階の極を持つことから、${\cal E}_q(x)$ のPoincaré型漸近級数を導出する。
• 主項定数 $e_0(q)$ を、$\zeta_{K(q)}(s)$ の $s=1$ における留数 $\alpha(q) = \mathrm{Res}_{s=1} \zeta_{K(q)}(s)$、クラス数 $h(q)$、レギュレーター $R(q)$、およびEuler積 $C(q,s)$ で表す。
• Iharaの最近の結果（GRHのもとでの数体のEuler-Kronecker定数に関するもの）を用いて、単純近似 $e(q)x / \log^{1/(q-1)}x$ とRamanujan型積分 $e(q)\int_2^x dt / \log^{1/(q-1)}t$ の誤差項を比較する。
• MAGMAを用いた数値計算により、特定の素数 $q$ に対して理論的比較が正当化されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SpearmanとWilliamsの主項公式を上回る、$n \leq x$ かつ $q \nmid \varphi(n)$ を満たす整数の個数に対する漸近的推定値を得ることは可能か？
• RQ2 ${\cal E}_q(x)$ の正確な漸近展開の構造は何か？ そして、ゼータ関数とFrobenian集合を用いてどのように導出できるか？
• RQ3 Ramanujan型積分近似 $\int_2^x dt / \log^{1/(q-1)}t$ は、${\cal E}_q(x)$ に対して、単純な $x / \log^{1/(q-1)}x$ 近似よりも漸近的に優れているか？
• RQ4 どの奇素数 $q$ に対して、Ramanujan型近似が単純近似を上回るか？ その条件はGRHのもとでどうか？
• RQ5 元の式における定数 $C(q)$ は、Euler積の恒等式を用いて $C(q,1)$ として簡略化・再解釈できるか？

主な発見

• 本稿は、${\cal E}_q(x)$ に対する完全なPoincaré型漸近展開を確立する： ${\cal E}_q(x) = \frac{x}{\log^{1/(q-1)}x}\left(e_0(q) + \frac{e_1(q)}{\log x} + \cdots + O\left(\frac{1}{\log^{k+1}x}\right)\right)$ であり、これはSpearmanとWilliamsの主項推定値よりも著しく高精度である。
• 主項定数 $e_0(q)$ は明示的に $e_0(q) = \frac{(1 - q^{-2})}{\Gamma\left(\frac{q-2}{q-1}\right) \left(C(q)(1 - q^{-1})\alpha(q)\right)^{1/(q-1)}}$ と与えられ、ここで $\alpha(q)$ は $\zeta_{K(q)}(s)$ の $s=1$ における留数である。
• GRHのもとで、すべての奇素数 $q \leq 67$ に対して、Ramanujan型近似が漸近的に優れている。一方、$q > 67$ の場合には単純近似が優れている。
• 本稿は、$C(q) = C(q,1)$ を証明する。ここで $C(q,s)$ は、$f_p \geq 2$ を満たす $p \neq q$ である素数 $p$ に対するEuler積である。これにより、SpearmanとWilliamsの元の式が簡略化される。
• 数値計算により、$q \leq 67$ の範囲ではRamanujan型近似が常に単純近似より小さい誤差を示すことが確認され、$q$ が大きくなると差が小さくなる。
• 解析により、IharaがGRHのもとで研究した円分体 $K(q)$ のEuler-Kronecker定数が、2つの近似法を比較する際の主要因であることが判明した。