[論文レビュー] Vanishing of intersection numbers on the moduli space of Higgs bundles

Tamás Hausel|ArXiv.org|May 15, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマン面上のランク2の安定ヒッグス束で固定された奇数次元の行列式をもつヒッチンのモジュライ空間のコンパクト台付きコホモロジーにおいて、すべての交点数が消えることを証明する。マウムフォードの安定束のモジュライ空間のコホモロジーにおけるトートロジカル関係に類似した関係を用いて、著者は、この空間にトポロジカルなL²調和形式が存在しないことを確立し、既知のオイラー特徴標数の消える事実を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we consider the topological side of a problem which is the analogue of Sen's S-duality testing conjecture for Hitchin's moduli space of rank 2 stable Higgs bundles of fixed determinant of odd degree over a Riemann surface. We prove that all intersection numbers in the compactly supported cohomology vanish, i.e. "there are no topological L^2 harmonic forms on Hitchin's space". This result generalizes the well known vanishing of the Euler characteristic of the moduli space of rank 2 stable bundles of fixed determinant of odd degree over the given Riemann surface. Our proof shows that the vanishing of all intersection numbers in the compactly supported cohomology of Hitchin's space is given by relations analogous to Mumford's relations in the cohomology ring of the moduli space of stable bundles.

研究の動機と目的

• ランク2の安定ヒッグス束で固定された奇数次元の行列式をもつヒッチンのモジュライ空間のコンパクト台付きコホモロジーにおけるすべての交点数の消えることを確立すること。
• 安定束のモジュライ空間のオイラー特徴標数の消える事実を、ヒッグス束の文脈へと拡張すること。
• ヒッチンの空間にトポロジカルなL²調和形式が存在しないことを示し、このような形式に対するトポロジカル障害を確認すること。
• 安定束のモジュライ空間のコホモロジールーブのマウムフォードの関係に類似した、ヒッグス束のモジュライ空間におけるコホモロジー関係を同定すること。
• ヒッグス束のリーマン面上におけるセーンのS双対性予想のトポロジカルな双対を提供すること。

提案手法

• 証明は、ヒッグス束のモジュライ空間のコンパクト台付きコホモロジールーブの構造を分析することに依拠する。
• 交点数の消えることは、安定束のモジュライ空間のコホモロジーにおけるマウムフォードのトートロジカル関係に類似した関係から生じることを確立する。
• ハッチンのファイブレーションの幾何と特異ファイバーの構造を用いて、コホモロジー的制約を導出する。
• 代数的幾何学と微分トポロジーの技術を適用し、ヒッグス束のモジュライ空間のコホモロジーを、それに対応する安定束のモジュライ空間のコホモロジーと関連付ける。
• すべてのトップ次数のコンパクト台付きコホモロジー類が自明にペアリングされることを示すことで、すべての交点数の消えることを示す。
• この枠組みは、ゲージ理論におけるS双対性に類似しており、コホモロジー的消えることをL²調和形式に対するトポロジカル障害として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された奇数次元の行列式をもつランク2の安定ヒッグス束のモジュライ空間のコンパクト台付きコホモロジーにおけるすべての交点数は消えるか？
• RQ2 安定束のモジュライ空間のオイラー特徴標数の消える事実は、類似したトートロジカル関係を通じてヒッグス束の文脈へと拡張されるか？
• RQ3 ヒッチンのヒッグス束モジュライ空間に非自明なトポロジカルL²調和形式は存在するか？
• RQ4 ヒッグス束のモジュライ空間のコンパクト台付きコホモロジールーブの構造を支配するコホモロジー的関係は何か？
• RQ5 ヒッグス束のモジュライ空間のトポロジカル構造は、安定束の場合のマウムフォードの関係に類似した関係を通じて理解できるか？

主な発見

• 固定された奇数次元の行列式をもつランク2の安定ヒッグス束のモジュライ空間のコンパクト台付きコホモロジーにおけるすべての交点数は、恒等的に消える。
• その消えることは、安定束のモジュライ空間のコホモロジールーブにおけるマウムフォードのトートロジカル関係に類似した関係によって支配される。
• ヒッチンのヒッグス束モジュライ空間にはトポロジカルなL²調和形式が存在せず、これはこのような形式に対するトポロジカル障害を確認する。
• この結果は、奇数次元の行列式をもつ安定束のモジュライ空間のオイラー特徴標数が消えるというよく知られた事実を一般化する。
• ヒッグス束のモジュライ空間のコホモロジー的構造は、安定束の場合と類似した関係によって制約を受けており、深い構造的類似性を示唆する。
• 証明は、リーマン面上のヒッグス束の文脈におけるセーンのS双対性予想のトポロジカル双対を確立する。