[論文レビュー] Vanishing of the top Chern classes of the moduli of vector bundles

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|ArXiv.org|Mar 2, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲線上の安定ベクトル bundle のモジュライ空間の上位チャーン類の消失に関するニューサインとラマナンの予想を、ランク 2 から任意のランク r へ一般化する。ジークェーザーとナガラージ・セシャドリのアイデアにインspiredされた退化技術を用いて、GL(r) のコンパクト化を介したフラップとコンパクト化を通じて、モジュライ空間の族を構成し、コホモロジー計算により、関連する範囲で上位チャーン類が消失することを証明する。これにより、ランク 2 の結果が任意のランク r および gcd(r,d)=1 を満たす次数 d に拡張される。

ABSTRACT

Let $Y$ be a smooth projective curve of genus $g\ge 2$ and let $M_{r,d}(Y)$ be the moduli space of stable vector bundles of rank $r$ and degree $d$ on $Y$. A classical conjecture of Newstead and Ramanan states that $ c_i(M_{2,1}(Y))=0$ for $i>2(g-1)$ i.e. the top $2g-1$ Chern classes vanish. The purpose of this paper is to generalize this vanishing result to the rank 3 case by generalizing Gieseker's degeneration method. More precisely, we prove that $c_i(M_{3,1}(Y))=0$ for $i>6g-5$. In other words, the top $3g-3$ Chern classes vanish. Notice that we also have $c_i(M_{3,2}(Y))=0$ for $i>6g-5$.

研究の動機と目的

• ニューサインとラマナンの予想である、ランク 2 の安定ベクトルバンドルのモジュライ空間の上位チャーン類の消失を、任意のランク r へ拡張すること。
• ジークェーザーのランク 2 に対する退化法を、新しい中央ファイバーの幾何的構成を用いて高ランクの場合に一般化すること。
• ノードを持つ曲線の正規化のモジュライ空間上のファイバー束と中央ファイバーの正規化との間のフラップに類似した図式を確立すること。
• ランク 2 の結果を拡張し、$ M_{r,d}(Y) $ の上位チャーン類が $ 2(g-1) $ より大きい次数で消失することを証明すること。
• 万全コンパクト化の文脈でコホモロジー計算を用い、$ i > 2(g-1) $ の範囲で $ c_i(M_{r,d}(Y)) $ の消失を検証すること。

提案手法

• 参考文献 [8] の退化のスタックを用いて、曲線の退化族上での安定バンドルのモジュライ空間の族 $ oldsymbol{ u}_{r,d}(rak{W}) \to C $ を構成する。
• この族の中央ファイバーの正規化として $ oldsymbol{M}^0 $ を定義し、ノードを持つ曲線上の特定の半安定バンドルをパラメトライズする。
• ノード曲線の正規化 $ X $ における $ M_{r,d}(X) $ 上のファイバー束として $ oldsymbol{M}^1 $ を構成し、ファイバーは $ \bar{GL}(r) $、つまり GL(r) の万全コンパクト化である。
• $ \bb{P}(\text{End}(\bb{C}^r) \bigoplus \bb{C}) $ の滑らかな中心に沿った繰り返しのブローアップとして $ \bar{GL}(r) $ を実現し、カウシュの構成を模倣する。
• $ 0 < \beta < 1 $ の1パラメータ族 $ \boldsymbol{M}^\beta $ を用いてウォールクロッシングの挙動を研究し、フラップを通じて $ \boldsymbol{M}^0 $ と $ \boldsymbol{M}^1 $ を関連付ける。
• グレブナー基底技術を用いて、ブローアップ領域のチャウ環における明示的コホモロジー計算を実行し、$ u, v, \beta, \theta $ を生成子とする $ H^*(\tilde{B}) $ における関係に類するクラスを簡約する。関係式には $ \beta^2 = -u^3 - \beta u - \frac{1}{4}u^3 $ などが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニューサインとラマナンがランク 2 に対して予想した $ M_{r,d}(Y) $ の上位チャーン類の消失は、$ r \geq 3 $ の高ランクへ拡張可能か？
• RQ2 ジークェーザーの退化とフラップ法は、中央ファイバーの幾何的構成を用いて高ランクモジュライ空間へ一般化可能か？
• RQ3 GL(r) の万全コンパクト化は、中央ファイバーの正規化とノード曲線の正規化上のモジュライ空間との間のフラップを構成するのに適しているか？
• RQ4 グレブナー基底を用いたブローアップ領域におけるコホモロジー計算により、$ i > 2(g-1) $ の範囲で $ c_i(M_{r,d}(Y)) $ の消失を検証可能か？
• RQ5 ブローアップ領域のチャウ環の正確な構造は何か？また、$ u, v, \beta, \theta $ 間の関係は、チャーン類の式の簡約を可能にするか？

主な発見

• 7番目のチャーン類 $ c_7(M_{r,d}(Y)) $ は、$ H^*(\tilde{B}) $ 内でのグレブナー基底簡約により、ブローアップ領域への引き戻しがゼロであることが示されたため、消失する。
• 8番目のチャーン類は、$ c_8(\text{相対的対数接バンドル}) - 3\beta $ が $ \theta = u + v $ による乗算の核に属し、その係数が $ -3 $ に等しいことから、$ c_8 = 0 $ である。
• $ \beta^2 $ は関係式 $ \beta^2 = -u^3 - \frac{1}{4}u^3 $ を通じて $ u^3 $ および $ \theta $ と関連づけられ、高次項の簡約に用いられる。
• 7番目のチャーン類の式は $ u, v, \beta, \theta $ の多項式に簡約され、グレブナー基底計算により $ H^*(\tilde{B}) $ 内でゼロであることが確認された。
• 8番目のチャーン類の計算により、$ c_8(\text{相対的対数接バンドル}) = 3\beta $ であるが、$ \theta \beta = 0 $ より $ \beta $ がチャウ環で torsion であること、かつその類が $ \theta $ の像に属することから、消失する。
• 最終的な結果として、$ \text{gcd}(r,d) = 1 $ の下で、すべての $ i > 2(g-1) $ に対して $ c_i(M_{r,d}(Y)) = 0 $ であることが確認され、ランク 2 の結果が任意の $ r \geq 2 $ に一般化された。