[論文レビュー] Vanishing theorems on covering manifolds

Maxim Braverman|ArXiv.org|Sep 24, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、曲率が非退化である $̳$-可換線束の高次の冪による張り子としての $̳$-不変ディラック作用素の半カーネルに関する消滅定理を確立する。既存の結果を一般化することで、コーヴァーイング多様体へのコルダとアンドレオッティ＝グラウエルの消滅定理の拡張がなされ、半古典的 $×^c$ 量子化が真のヒルベルト空間をもたらすことを証明する。応用は、実半単純リー群の同次空間に向けられる。

ABSTRACT

Let $M$ be an oriented even-dimensional Riemannian manifold on which a discrete group $Γ$ of orientation-preserving isometries acts freely, so that the quotient $X=M/Γ$ is compact. We prove a vanishing theorem for a half-kernel of a $Γ$-invariant Dirac operator on a $Γ$-equivariant Clifford module over $M$, twisted by a sufficiently large power of a $Γ$-equivariant line bundle, whose curvature is non-degenerate at any point of $M$. This generalizes our previous vanishing theorems for Dirac operators on a compact manifold. In particular, if $M$ is an almost complex manifold we prove a vanishing theorem for the half-kernel of a $\spin^c$ Dirac operator, twisted by a line bundle with curvature of a mixed sign. In this case we also relax the assumption of non-degeneracy of the curvature. When $M$ is a complex manifold our results imply analogues of Kodaira and Andreotti-Grauert vanishing theorems for covering manifolds. As another application, we show that semiclassically the $\spin^c$ quantization of an almost complex covering manifold gives an "honest" Hilbert space. This generalizes a result of Borthwick and Uribe, who considered quantization of compact manifolds. Application of our results to homogeneous manifolds of a real semisimple Lie group leads to new proofs of Griffiths-Schmidt and Atiyah-Schmidt vanishing theorems.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上のディラック作用素の消滅定理を、群作用を伴うコーヴァーイング多様体へ一般化すること。
• 半古典的 $×^c$-ディラック作用素を用いて、非コンパクトなコーヴァーイング多様体へのコルダとアンドレオッティ＝グラウエルの消滅定理の拡張を達成すること。
• 半古典的 $×^c$-量子化が、ほぼ複素コーヴァーイング多様体上で真のヒルベルト空間をもたらす条件を確立すること。
• コーヴァーイング多様体と可換幾何の枠組みを用いて、グリフィスズ＝シュミットおよびアティヤー＝シュミットの消滅定理の新たな証明を提供すること。

提案手法

• リーマン多様体 $M$ 上の $̳$-可換クラッフ・モジュールに、離散群 $̳$ の自由かつ適切な作用を伴う $̳$-不変ディラック作用素を用いる。
• 曲率が $M$ の各点で非退化である $̳$-可換線束の十分大きな冪による張り子を適用する。
• $̳$-不変作用素のスペクトル理論とインデックス理論を用いて、張り子付きディラック作用素の半カーネルを分析する。
• 非退化性の曲率と、ほぼ複素多様体上の $×^c$-構造の性質に依存して、特別な場合に曲率の仮定を緩和する。
• 実半単純リー群の同次空間に結果を適用し、既知の消滅定理を回復・再証明する。
• 半古典的極限における $×^c$-量子化を用いて、得られる空間が真のヒルベルト空間であることを示し、ボルトウィックとウリベの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーヴァーイング多様体上での $̳$-不変ディラック作用素の半カーネルが、$̳$-可換線束の高次の冪による張り子を受けるとき、どのような条件下で消えるか？
• RQ2 半古典的 $×^c$-ディラック作用素を用いて、コルダとアンドレオッティ＝グラウエルの消滅定理を非コンパクトなコーヴァーイング多様体へ拡張できるか？
• RQ3 張り子線束の曲率が厳密に非退化でない場合、半カーネルの消滅にどのような影響を与えるか？
• RQ4 ほぼ複素コーヴァーイング多様体上での半古典的 $×^c$-量子化は、真のヒルベルト空間をもたらすか？
• RQ5 グリフィスズ＝シュミットおよびアティヤー＝シュミットの既知の消滅定理は、コーヴァーイング多様体と可換ディラック作用素の枠組みを用いて再導出可能か？

主な発見

• 曲率が非退化である $̳$-可換線束の十分大きな冪による張り子を受ける場合、コーヴァーイング多様体 $M$ 上の $̳$-不変ディラック作用素の半カーネルは消える。
• ほぼ複素多様体の場合、張り子線束の曲率が符号が混合していても、半カーネルの消滅結果は成立し、非退化性の条件を緩和できる。
• $M$ が複素多様体であるとき、結果はコーヴァーイング多様体に対する古典的コルダとアンドレオッティ＝グラウエルの消滅定理の類似をもたらす。
• ほぼ複素コーヴァーイング多様体の半古典的 $×^c$-量子化は、真のヒルベルト空間を生成する。これは、コンパクト多様体に対する結果の一般化である。
• この枠組みにより、コーヴァーイング多様体の幾何と可換作用素の観点から、グリフィスズ＝シュミットおよびアティヤー＝シュミットの消滅定理の新たな証明が可能になる。
• 結果は、実半単純リー群の同次空間に適用可能であり、古典的消滅定理に対する新しい幾何的視点を提供する。