[論文レビュー] Vanishing Viscosity Limit of the Navier-Stokes Equations to the Euler Equations for Compressible Fluid Flow

Gui‐Qiang Chen, Mikhail Perepelitsa|ArXiv.org|Oct 13, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1次元の圧縮流体の可 compressible 流体の非圧縮流体のナビエ＝ストークス方程式から等エントロピーのオイラー方程式への可縮性の消失限界を、実際の物理的粘性を克服するために、一様エネルギー推定を構築し、$H^{-1}$ におけるエントロピー散逸測度のコンパクト性を証明することによって確立する。主な結果は、$\gamma \geq 3$ に対してナビエ＝ストークス解が有限エネルギーのエントロピー解に収束することであり、$1 < \gamma \leq 5/3$ については簡略化された還元技術を用いて拡張される。

ABSTRACT

We establish the vanishing viscosity limit of the Navier-Stokes equations to the isentropic Euler equations for one-dimensional compressible fluid flow. For the Navier-Stokes equations, there exist no natural invariant regions for the equations with the real physical viscosity term so that the uniform sup-norm of solutions with respect to the physical viscosity coefficient may not be directly controllable and, furthermore, convex entropy-entropy flux pairs may not produce signed entropy dissipation measures. To overcome these difficulties, we first develop uniform energy-type estimates with respect to the viscosity coefficient for the solutions of the Navier-Stokes equations and establish the existence of measure-valued solutions of the isentropic Euler equations generated by the Navier-Stokes equations. Based on the uniform energy-type estimates and the features of the isentropic Euler equations, we establish that the entropy dissipation measures of the solutions of the Navier-Stokes equations for weak entropy-entropy flux pairs, generated by compactly supported $C^2$ test functions, are confined in a compact set in $H^{-1}$, which lead to the existence of measure-valued solutions that are confined by the Tartar-Murat commutator relation. A careful characterization of the unbounded support of the measure-valued solution confined by the commutator relation yields the reduction of the measure-valued solution to a Delta mass, which leads to the convergence of solutions of the Navier-Stokes equations to a finite-energy entropy solution of the isentropic Euler equations.

研究の動機と目的

• 実際の物理的粘性を有する圧縮流体の非圧縮流体のナビエ＝ストークス方程式から等エントロピーのオイラー方程式への可縮性の消失限界を確立すること。
• 物理的粘性による不変領域の欠如および符号付きエントロピー散逸のためのナビエ＝ストークス方程式の課題を克服すること。
• タルタール＝ムラットの交換子関係を用いて測度値解の存在を証明し、それらをデルタ関数に還元すること。
• 一般の初期データに対して、ナビエ＝ストークス解が有限エネルギーのエントロピー解に収束することを示すこと。
• $1 < \gamma \leq 5/3$ に対して、測度値解の還元証明を先行研究と比較して簡略化すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス解に対して、粘性係数 $\varepsilon$ に関して一様エネルギー型推定を構築すること。
• コンパクトに台を持つ $C^2$ テスト関数によって生成される弱いエントロピー散逸測度の $H^{-1}$-コンパクト性を確立すること。
• タルタール＝ムラットの交換子関係を用いて、可能なかぎり非有界な台を持つ測度値解を制限すること。
• 背理法による議論を用いて、測度値解の非有界な台を特徴づけ、それを位相空間 $(\rho, m)$ におけるデルタ関数に還元すること。
• 補償コンパクト性および弱収束の技法を用いて、有限エネルギーのエントロピー解への収束を証明すること。
• $1 < \gamma \leq 5/3$ に対して、エントロピー散逸およびテスト関数の挙動に関する推定を精緻化することで、還元の議論を簡略化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実際の物理的粘性を有する圧縮流体のナビエ＝ストークス方程式に対して、可縮性の消失限界を厳密に確立できるか？
• RQ2 物理的粘性により自然な不変領域が存在しない場合、ナビエ＝ストークス解に対して一様推定をどのように導出できるか？
• RQ3 ナビエ＝ストークス方程式のエントロピー散逸測度が $H^{-1}$ でコンパクトのままである条件は何か？
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式によって生成される測度値解が、位相空間 $(\rho, m)$ においてどのようにデルタ関数に還元できるか？
• RQ5 どのような条件下で、$\gamma \geq 3$ および $1 < \gamma \leq 5/3$ の場合に、ナビエ＝ストークス解が有限エネルギーのエントロピー解に収束するか？

主な発見

• 著者らは、ナビエ＝ストークス方程式の解に対して、粘性係数 $\varepsilon$ に関して一様エネルギー推定を確立した。
• 弱いエントロピー・エントロピー束撃対のためのエントロピー散逸測度が $H^{-1}$ で前コンパクトであることが示され、測度値解の存在が可能になった。
• 測度値解はタルタール＝ムラットの交換子関係によって制限され、$\gamma \geq 3$ に対して位相空間 $(\rho, m)$ におけるデルタ関数に還元可能であり、有限エネルギーのエントロピー解への収束を示唆する。
• $1 < \gamma \leq 5/3$ に対して、LeFloch-Westdickenberg [20] よりも簡略化された還元証明が得られ、より直接的な議論が可能になった。
• 主定理は、一般の初期データの条件下で、ナビエ＝ストークス解の部分列が有限エネルギーのエントロピー解に収束することを確認している。
• この結果は、有限エネルギーの初期データを有する実際の物理的粘性の下で、可縮性の消失限界を拡張し、圧縮流体力学における長年の課題を解決した。