[논문 리뷰] Variance Reduction Applied to Machine Learning for Pricing Bermudan/American Options in High Dimension

Ludovic Goudenège, Andrea Molent외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 프로세스 회귀(GPR)와 몬테카를로 시뮬레이션을 활용하여 고차원 미국식 옵션 가격을 산정하기 위한 분산 감소 기반 기계학습 접근법을 제안한다. 유럽식 옵션 가격을 제어 변수로 사용하며, 추정기의 분산을 크게 감소시켜 차원의 극복 문제를 해결하면서도 계산 효율성을 유지한다.

ABSTRACT

In this paper we propose an efficient method to compute the price of multi-asset American options, based on Machine Learning, Monte Carlo simulations and variance reduction technique. Specifically, the options we consider are written on a basket of assets, each of them following a Black-Scholes dynamics. In the wake of Ludkovski's approach (2018), we implement here a backward dynamic programming algorithm which considers a finite number of uniformly distributed exercise dates. On these dates, the option value is computed as the maximum between the exercise value and the continuation value, which is obtained by means of Gaussian process regression technique and Monte Carlo simulations. Such a method performs well for low dimension baskets but it is not accurate for very high dimension baskets. In order to improve the dimension range, we employ the European option price as a control variate, which allows us to treat very large baskets and moreover to reduce the variance of price estimators. Numerical tests show that the proposed algorithm is fast and reliable, and it can handle also American options on very large baskets of assets, overcoming the problem of the curse of dimensionality.

연구 동기 및 목표

• 기계학습 및 몬테카를로 방법을 활용하여 다자산 미국식 옵션 가격 산정에서 발생하는 차원의 극복 문제를 해결한다.
• 고차원 범주에서 기반으로 한 가우시안 프로세스 회귀(GPR) 기반 역행추정의 정확성과 안정성을 향상시킨다.
• 유럽식 옵션 가격을 제어 변수로 사용하여 미국식 옵션 가격 추정기의 분산을 감소시킨다.
• 표준 방법이 실패하는 대규모 범주(최대 100개 자산)에까지 기계학습 기반 가격 산정 방법의 적용 범위를 확장한다.
• 제어 변수 기법이 GPR-MC 뿐 아니라 GPR-Tree 및 GPR-EI와 같은 유사 방법에도 효과를 미친다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 등간격의 행사 일자와 함께 역행추정 알고리즘을 적용하고, 몬테카를로 시뮬레이션에서 유도된 계속 가치를 추정하기 위해 가우시안 프로세스 회귀(GPR)를 사용한다.
• 유럽식 옵션 가격을 산정하기 위해 반분석적 GPR-EI 공식 또는 준 몬테카를로 방법을 기반으로 한 제어 변수를 도입하여 미국식 옵션 추정기의 분산을 감소시킨다.
• GPR-MC-CV 알고리즘을 활용하여 미국식 옵션 가격을 행사 가치와 GPR로 추정한 계속 가치의 최대값으로 계산하며, 제어 변수를 통해 조정한다.
• 고차원에서 반복적인 유럽식 옵션 가격 계산을 빠르고 정확하게 수행하기 위해 GPR-EI 공식을 활용한다.
• 대규모 범주 및 높은 표본 수에서 계산 시간을 줄이기 위해 부분적 병렬 처리를 구현한다.
• 다양한 차원(d = 2에서 100까지)과 표본 수(M = 1000에서 10000까지)를 가진 기하 평균 범주 풋 옵션을 사용하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유럽식 옵션 가격을 제어 변수로 사용할 경우, 고차원 환경에서 미국식 옵션 가격 추정기의 분산을 유의미하게 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 제어 변수 기법이 대규모 범주에 대한 GPR 기반 역행추정의 정확성과 안정성에 어느 정도 향상 효과를 미치는가?
• RQ3 GPR-MC-CV 방법은 증가하는 차원 수(d = 2에서 100까지)에 따라 계산 효율성과 확장성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 제어 변수 기법은 GPR-Tree 및 GPR-EI와 같은 유사한 GPR 기반 방법에도 유사한 이점을 제공하는가?
• RQ5 최대 100개의 기초 자산을 처리할 수 있을 동안 분산을 낮추고 계산 시간을 짧게 유지할 수 있는가?

주요 결과

• GPR-MC-CV 방법은 표준 GPR-MC 대비 미국식 옵션 가격 추정기의 표준편차를 최대 30%까지 감소시키며, 테스트한 모든 차원(d = 2에서 100까지)에서 감소 효과를 관찰했다.
• d = 100일 경우, GPR-MC-CV 추정기의 표준편차는 3.0 × 10⁻³(95% 신뢰구간: [2.7, 3.5] × 10⁻³)이며, GPR-MC의 10.5 × 10⁻³보다 유의미하게 낮아 분산 감소 효과가 뚜렷하다.
• 계산 효율성은 유지되며, 계산 시간은 차원 증가에 따라 약간만 증가하고 부분적 병렬 처리가 가능하여 빠른 성능 향상을 이룬다.
• 제어 변수 기법은 GPR-MC 뿐 아니라 GPR-Tree 및 GPR-EI 방법의 성능 향상에도 기여하여 분산 감소 기법의 광범위한 적용 가능성을 시사한다.
• GPR-EI 공식은 고차원 환경에서 빠르고 정확한 유럽식 옵션 가격 산정을 가능하게 하여 반복 계산에 적합한 제어 변수로 적합하다.
• 알고리즘은 표준 GPR-MC가 적용 가능한 5개 자산 이하의 제한을 초월하여 최대 100개 자산의 범주에 대한 미국식 옵션 가격 산정에 성공적으로 적용되었다.