[論文レビュー] Variational Geometric Approach to Generalized Differential and Fenchel Conjugate Calculi in Convex Analysis

Boris S. Mordukhovich, Nguyen Mau Nam+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所凸位相空間およびバナッハ空間における滑らかな凸極値原理を用いて、一般化された微分およびフェンヒェル共役の変分的幾何的アプローチを導入する。最小限の仮定の下で、特に最適値関数および凸グラフをもつ多価写像に対して、部分勾配、共役、余微分に関する新規で統一的な微分法則を確立し、古典的な凸解析の結果の簡略化および一般化された証明を提供する。

ABSTRACT

This paper develops a geometric approach of variational analysis for the case of convex objects considered in locally convex topological spaces and also in Banach space settings. Besides deriving in this way new results of convex calculus, we present an overview of some known achievements with their unified and simplified proofs based on the developed geometric variational schemes.

研究の動機と目的

• 局所凸位相空間およびバナッハ空間における変分解析の幾何的枠組みを、凸対象に対して構築すること。
• フェンヒェル共役、部分勾配、余微分に関する新規で統一的な微分法則を、凸関数および多価写像に対して導出すること。
• 凸極値原理に基づく変分的幾何的アプローチを用いて、既存の凸微分法の結果を一般化・簡略化すること。
• 最小限の位相的仮定の下で、最適値関数および凸グラフをもつ多価関数に対する正確な余微分微分法則を確立すること。

提案手法

• 局所凸位相線形空間（LCTV）における滑らかな凸極値原理を用いて、支援関数および正規錐の交差則を導出する。
• 幾何的正規錐交差則を応用し、LCTV空間およびバナッハ空間における凸関数のフェンヒェル共役の微分法則を開発する。
• バナッハ空間においてアトゥーク＝ブレジスの技法を閉包仮定の下で適用し、共役関数を分析する。
• 従来の解析的手法を避けて、幾何的議論により部分勾配の和則および合成則を導出する。
• 正規錐の分解を用いて、凸グラフをもつ多価関数に適用する余微分交差則を適用する。
• 合成写像のグラフへの正規錐による余微分の表現を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適値関数のフェンヒェル共役は、凸解析における変分的幾何的原理を用いてどのように計算できるか？
• RQ2 多価写像の合成の余微分が、合成写像のグラフへの正規錐によって表現されるための必要十分条件は何か？
• RQ3 局所凸空間における幾何的アプローチを用いて、凸関数の最大値の部分微分はどのように計算できるか？
• RQ4 完備性や閉包仮定を課さないLCTV空間における正規錐および支援関数の精緻化された交差則は何か？
• RQ5 最小限の位相的条件下で、2つの凸グラフをもつ多価関数の交差の余微分はどのように特徴付けられるか？

主な発見

• 完備性や閉包性を仮定しない任意の局所凸位相空間において、凸極値原理を用いて、支援関数および正規錐の交差則を新たに精緻化したものを確立した。
• 最適値関数のフェンヒェル共役は、幾何的正規錐微分法則を用いて計算され、一般凸設定において新たな表現を提供した。
• 多価写像の合成に対して、新たな余微分鎖則を導出し、合成の余微分が合成写像のグラフへの正規錐によって表現されることを示した。
• 2つの凸グラフをもつ多価関数の交差の余微分は、2つの異なる制約条件の下で、余微分の和として特徴付けられた：グラフの交差の内部性、またはバナッハ空間における差錐の閉包性。
• 幾何的変分的技法を用いて、部分勾配の和則および合成則を含む、凸微分法における主要な結果の簡略化および統一された証明を提供した。
• アスプルンド空間の仮定を排除し、一般のLCTV空間を許容しながらも、強力な微分法則を維持する点で、[16]の先行研究を拡張した。