[論文レビュー] Variational principles for circle patterns

Boris Springborn|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、円の半径に基づく凸変分原理を用いて、一定曲率の曲面上の円配列の存在および一意性の定理を確立する。ラプラス変換を用いて新たな変分原理を導出し、Colin de Verdière や Brägger、Rivin、Leibon の既存の汎関数と関連づけ、可視化のための計算実装を提供する。応用として、多面体の実現可能性に関する Steinitz の定理が得られる。

ABSTRACT

A Delaunay cell decomposition of a surface with constant curvature gives rise to a circle pattern, consisting of the circles which are circumscribed to the facets. We treat the problem whether there exists a Delaunay cell decomposition for a given (topological) cell decomposition and given intersection angles of the circles, whether it is unique and how it may be constructed. Somewhat more generally, we allow cone-like singularities in the centers and intersection points of the circles. We prove existence and uniqueness theorems for the solution of the circle pattern problem using a variational principle. The functionals (one for the euclidean, one for the hyperbolic case) are convex functions of the radii of the circles. The analogous functional for the spherical case is not convex, hence this case is treated by stereographic projection to the plane. From the existence and uniqueness of circle patterns in the sphere, we derive a strengthened version of Steinitz' theorem on the geometric realizability of abstract polyhedra. We derive the variational principles of Colin de Verdière, Brägger, and Rivin for circle packings and circle patterns from our variational principles. In the case of Brägger's and Rivin's functionals. Leibon's functional for hyperbolic circle patterns cannot be derived directly from our functionals. But we construct yet another functional from which both Leibon's and our functionals can be derived. We present Java software to compute and visualize circle patterns.

研究の動機と目的

• 所定の交差角と円錐型特異点を有する曲面上の円配列の存在および一意性を確立すること。
• ユークリッド幾何と双曲幾何における円の半径に関する凸汎関数に基づく変分枠組みを構築すること。
• 球面の場合のアプローチを、非凸性のため直接的な関数形が不適切であるため、ステレオグラフィック射影を用いて拡張すること。
• ラプラス変換を用いて、Colin de Verdière、Brägger、Rivin、Leibon の既知の汎関数を共通の変分的基盤から導出・統一すること。
• Java ソフトウェアを用いた、円配列の構築および可視化のための計算ツールを提示すること。

提案手法

• ユークリッドおよび双曲の場合に、円の半径上に定義された凸汎関数を定義し、その臨界点が円配列問題の解に対応することを示す。
• 球面の場合には、直接的な半径関数が凸でないため、ステレオグラフィック射影を用いる。
• ユークリッド、双曲、球面の各汎関数にラプラス変換を適用し、半径ではなく角度を変数とする新たな変分原理を導出する。
• 幾何学的に、変換された汎関数を3次元の双曲空間内における双曲多面体の体積として解釈する。
• Leibon の汎関数の逆ラプラス変換を用いて、Leibon のものと著者の双曲汎関数の両方を導出できる新たな汎関数を構成する。
• 理論的枠組みに基づき、導出された変分原理を用いた計算と可視化が可能な Java ベースのソフトウェアシステムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一定曲率の曲面上で、所定の交差角を有する円配列が存在し、かつ一意に定まるための条件は何か？
• RQ2 ユークリッドおよび双曲の円配列に対して、円の半径に関する凸汎関数に基づく変分原理を構築できるか？
• RQ3 非凸な球面汎関数はどのように取り扱えるか？また、ステレオグラフィック射影はこの文脈で果たす役割は何か？
• RQ4 既知の汎関数（例：Brägger のもの、Rivin のもの、Leibon のもの）は、どの程度統一的な変分的枠組みから導出可能か？
• RQ5 ラプラス変換された汎関数の幾何学的解釈、特に双曲多面体の体積との関係は何か？

主な発見

• ユークリッドおよび双曲の場合に、所定の交差角と円錐型特異点を有する円配列の存在および一意性が、凸変分原理を用いて証明された。
• 球面の場合にはステレオグラフィック射影を用いることで、抽象的多面体の幾何的実現可能性に関する Steinitz の定理の強化版が得られた。
• Brägger および Rivin の汎関数は、著者のユークリッド汎関数からラプラス変換を用いて導出され、変換された変数は半径ではなく角度である。
• ラプラス変換された双曲および球面の汎関数は、3次元の双曲空間内における多面体の体積として幾何学的に解釈された。
• 著者の双曲汎関数と Leibon の双曲汎関数を統合する新たな汎関数が構成され、Leibon の汎関数の逆ラプラス変換により、双曲円配列の新たな変分原理が得られた。
• 理論的枠組みに基づき、計算と可視化が可能な Java ソフトウェア実装が提供された。