[論文レビュー] Variational Theory of Mixtures in Continuum Mechanics

Henri Gouin|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2008

Phase Equilibria and Thermodynamics参考文献 23被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ的枠組みにおいてハミルトニアンの原理を用いて、混合可能流体混合物の変分的定式化を開発する。各成分を別個の連続体として取り扱い、恣意的な相互作用項を用いず、熱力学的に整合性のある運動方程式とエネルギー方程式を導出する。界面層における表面張力は、勾配に依存する内部エネルギーに基づき、アントンフの法則と整合的である。

ABSTRACT

In continuum mechanics, the equations of motion for mixtures are derived through the use of Hamilton's extended principle which regards the mixture as a collection of distinct continua. The internal energy is assumed to be a function of densities, entropies and successive spatial gradients of each constituent. We first write the equations of motion for each constituent of an inviscid miscible mixture of fluids without chemical reactions or diffusion. Our work leads to the equations of motion in an universal thermodynamic form in which interaction terms subject to constitutive laws, difficult to interpret physically, do not occur. For an internal energy function of densities, entropies and spatial gradients, an equation describing the barycentric motion of the constituents is obtained. The result is extended for dissipative mixtures and an equation of energy is obtained. A form of Clausius-Duhem's inequality which represents the second law of thermodynamics is deduced. In the particular case of compressible mixtures, the equations reproduce the classical results. Far from critical conditions, the interfaces between different phases in a mixture of fluids are layers with strong gradients of density and entropy. The surface tension of such interfaces is interpreted.

研究の動機と目的

• 相互作用項のための構成則に依存しない、混合可能流体混合物の体系的変分的枠組みの構築を目的とする。
• エントロピー、温度、および熱力学第二法則に関して、連続体混合物理論における曖昧さを解消することを目的とする。
• 保存的および散逸的混合物に適用可能な普遍的な熱力学的形での運動方程式とエネルギー方程式を導出することを目的とする。
• 共存する相の薄い界面層において、内部エネルギーの勾配に起因する界面の表面張力を解釈することを目的とする。
• 勾配項が存在しない場合に既知の振る舞いを回復できるように、圧縮性混合物に対する古典的結果を拡張することを目的とする。

提案手法

• 各成分に対してラグランジュ的表現を用い、各成分の参照配置を用いてハミルトニアンの拡張原理を適用する。
• 内部エネルギーが各成分の密度、エントロピー、およびそれらの密度およびエントロピーの連続的な空間勾配に依存すると仮定する。
• 変分法を用いて運動方程式を導出し、経験的に仮定された相互作用項を含まない熱力学的形を得る。
• 内部エネルギー汎関数から導かれる応力テンソルを導入し、係数 $ C_i = 2 horac{eta_i}{ ho} $ および $ D = horac{eta_i}{ ho} $ を用いて勾配寄与を組み込む。
• 各成分の運動を別々に変分する原理を用い、重心運動方程式を導出可能にする。
• 等温および等エントロピー極限にこの手法を適用し、クラウジウス＝デュヘム不等式の形式を用いて散逸的混合物へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非物理的な相互作用項を導入せずに、混合可能流体混合物に一貫性を持って変分原理を適用する方法は何か？
• RQ2 各成分が独自のエントロピーと密度を持つ場合、混合物の運動およびエネルギーの正しい熱力学的定式化は何か？
• RQ3 勾配に依存する内部エネルギー関数から、流体界面における表面張力をどのように導出できるか？
• RQ4 変分的・場理論的アプローチから、古典的アントンフの法則による界面張力は回復可能か？
• RQ5 内部エネルギーに空間勾配を含めることで、界面層の物理的に意味のある記述がどのように得られるか？

主な発見

• 変分法により、相互作用力のための構成則を必要としない普遍的な熱力学的形での運動方程式が得られる。
• 平面的界面において、縁にかかる単位長さあたりの線力は $ H = H_1 + H_2 + H_{1.2} $ で与えられ、ここで $ H_1 $、$ H_2 $、$ H_{1.2} $ はそれぞれ個々の相の表面張力およびそれらの相互作用を表す。
• 界面張力 $ H $ は内部エネルギー内の勾配項の積分から導出され、$ H_1 = ho ho_1 rac{eta_1}{ ho_1} $、$ H_2 = ho ho_2 rac{eta_2}{ ho_2} $、$ H_{1.2} = 2D ho rac{eta_{12}}{ ho} $ となる。これはアントンフの法則と整合的である。
• 勾配が消えるバルク相では、応力テンソルは静水圧に簡略化され、$ ho_1^2 rac{eta_1}{ ho_1} $ および $ ho_2^2 rac{eta_2}{ ho_2} $ がそれぞれの相の圧力に対応する。
• 勾配項を無視した場合、この方法は圧縮性混合物に対する古典的結果を再現する。
• 導出されたクラウジウス＝デュヘム不等式の形は、散逸的混合物において熱力学第二法則が満たされることを保証する。