[論文レビュー] Veech surfaces associated with rational billiards

Samuel Lelièvre|ArXiv.org|May 23, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Veech群が大きな群をもつ翻訳表面（Veech表面）を生じる有理的台球の分類を、展開構成による台球の力学的性質の分析を通じて行う。有限被覆体積を持つVeech群（格子性）を満たすのは、正確には特定の種類の三角形に限られ、それは最小角がπ/n（n≥4）である直角三角形、頂角がπ/n（n≥3）である鋭角二等辺三角形、および特定の例外的な鋭角斜辺三角形と鈍角斜辺三角形であり、三角形群記法を用いて明示的なVeech群が同定されている。

ABSTRACT

A nice trick for studying the billiard flow in a rational polygon is to unfold the polygon along the trajectories. This gives rise to a translation or half-translation surface tiled by the original polygon, or equivalently an Abelian or quadratic differential. Veech surfaces are a special class of translation surfaces with a large group of affine automorphisms, and interesting dynamical properties. The first examples of Veech surfaces came from rational billiards. We first present the mathematical objects and fix some vocabulary and notation. Then we review known results about Veech surfaces arising from rational billiards. The interested reader will find annex tables on the author's web page.

研究の動機と目的

• 有理的多角形、特に三角形が台球展開によってVeech表面を生じる条件を分類すること。
• 有限被覆体積を持つVeech群（格子性）を持つ有理的台球を特定し、Veech二分法により強い混合的力学的性質を示すこと。
• 有理的台球から生じる翻訳表面のVeech群を特徴づけること、特に三角形に対して。
• 鋭角、鈍角、直角三角形が格子例として成立するかどうかを解明し、例外的な場合を含む。

提案手法

• 台球の軌道を翻訳表面または半翻訳表面上の直線的流れに変換する展開構成を用いる。
• 翻訳表面とアーベル微分の間、半翻訳表面と二次微分の間の対応を適用する。
• PSL(2,R)の部分群としてのVeech群を用い、被覆体積が有限である表面を分類・解析する。
• 関連表面のVeech群を記述するために三角形群記法Δ(p,q,r)を用いる。
• 角度（π単位）の幾何学的・算術的条件を用いて、Veech群が格子となる条件を同定する。
• Gutkin & Judge、Kenyon & Smillie、Vorobets、Wardの結果を活用し、必要十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有理的三角形が、有限被覆体積を持つVeech群をもつVeech表面を生じるか？
• RQ2 有理的台球から導かれる翻訳表面のVeech群の正確な構造は何か？
• RQ3 どの鋭角斜辺三角形が格子性を満たし、そのVeech群は何か？
• RQ4 どの条件下で鈍角三角形がVeech表面を生じるか？鋭角または直角三角形とはどのように異なるか？
• RQ5 各種の genus において、このようなVeech表面は有限個であるか、それとも新たな構成によって無限族が得られるか？

主な発見

• 有理的台球に付随する翻訳表面がVeech表面であるための必要十分条件は、そのVeech群がPSL(2,R)において有限被覆体積を持つことである。これはVeech二分法を意味し、任意の方向において流れが周期的または一意的エルゴード的である。
• 直角三角形が格子性を満たすのは、その最小角が整数n≥4に対してπ/nである場合に限られ、nが奇数のときはVeech群Δ(2,n,∞)、n=2mのときはΔ(m,∞,∞)である。
• 鋭角二等辺三角形が格子性を満たすのは、頂角がn≥3に対してπ/nである場合に限られ、n≥4のときはVeech群Δ(n,∞,∞)である。
• 鋭角斜辺三角形の中で、格子性を満たすのは3つの例に限られる：T(3,4,5)、T(3,4,5)、T(2,3,4)。それぞれVeech群はΔ(9,∞,∞)、Δ(6,∞,∞)、Δ(15,∞,∞)である。
• 2つの角がπ/n（n≥5）である鈍角二等辺三角形は、格子性を満たす。nが奇数のときはVeech群Δ(2,n,∞)、n=2mのときはΔ(m,∞,∞)であるが、頂点にマークが付くとこの性質は失われる。
• 鈍角斜辺三角形では、三角形(π/2n, π/n, (2n−3)π/2n)が格子性を満たし、Veech群はn≥4に対してΔ(3,n,∞)である。一方、T(1,3,8)およびT(2,3,7)は格子性を満たさない。