[論文レビュー] Veronese webs for bihamiltonian structures of higher corank

Andriy Panasyuk|ArXiv.org|Jan 24, 2000

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、一般位置構造の枠組みである Gelfand–Zakharevich の枠組みを拡張し、より高い余階数の完全な双ハミルトニアン構造へと Veronese フォークを一般化する。Poisson 対の分解における Kronecker ブロックを通じて Veronese フォークを定義し、複素単純 Lie 環の実形式における引数変換法においてその平坦性を証明し、局所的に同型を除いて構造を決定することを示す。

ABSTRACT

It is shown how the well-known class of bihamiltonian structures in general position can be extended to a wider class. A generalization of the corresponding notion of a Veronese web for this wider class is presented (in the general position case Veronese webs form complete systems of local invariants for bihamiltonian structures). Some examples are considered.

研究の動機と目的

• 一般位置の双ハミルトニアン構造から、より広いクラスの退化的で完全な高余階数の双ハミルトニアン構造への Veronese フォークの一般化を図ること。
• 単純性条件（非退化的 Kronecker ブロックの数が一定で、次元が等しくない）の下で、完全な双ハミルトニアン構造に対する局所的 Veronese フォークを定義すること。
• Veronese フォークが、一般位置の場合に既知の結果を一般化して、このような構造の完全な局所的不変量であることを確立すること。
• 複素単純 Lie 環の正規実形式における引数変換法の状況で、Veronese フォークを明示的に計算すること。
• 新しい Veronese フォークと、Kronecker フォークや最大ランクの d-フォーク（余次元 2）といった既存の概念との関係を明らかにすること。

提案手法

• 各点における Poisson 対 $(c_1, c_2)$ の Kronecker ブロックへの分解を用い、ブロックの次元を $n_j + 1$ とする。また、対応する部分束の滑らかな変動を仮定する。
• ウェブ分布 $T\tilde{\frak W}_\nu$ の annihilator を、Veronese 曲線によって生成する：$\alpha_\lambda^j = \sum_{i=0}^{n_j} \lambda_1^{n_j-i} \lambda_2^i \alpha_i^j$。ここで $\alpha_i^j$ はフラッグフィルトレーションにおける基底 1-形式である。
• 単純性条件を課す：Kronecker ブロックの数が一定な $k$ 個で、すべての次元が異なり、それらの張る部分空間が滑らかに分布していること。
• A. Brailov の結果を応用し、完全な双ハミルトニアン構造が局所的に Veronese フォークに還元可能であることを示す。
• 引数変換法では、同次多項式の Casimir $g_j$（次数 $m_j+1$）を用い、そのテイラー係数 $g_j^i(a,x)$ を通じてウェブを構成する。
• 任意の $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2)$ におけるウェブの annihilator が $\sum_{i=0}^{m_j} \lambda_1^{m_j-i} \lambda_2^i dg_j^i(a,x)$ によって生成されることを示し、実 Lie 環の場合の平坦性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置の状況を超えて、高余階数の完全な双ハミルトニアン構造に対し Veronese フォークを一般化できるか？
• RQ2 完全な双ハミルトニアン構造の Veronese フォークは、局所同型を除いて構造を決定するか？
• RQ3 複素単純 Lie 環の実形式における引数変換法において、Veronese フォークの構造はいかなるものか？
• RQ4 新しい Veronese フォークは、Chern と Griffiths が研究した最大ランクの $d$-フォーク（余次元 2）とどのように関係しているか？
• RQ5 どのような条件下で Veronese フォークが平坦であり、非平坦性の幾何的意味は何か？

主な発見

• 高余階数の完全な双ハミルトニアン構造に対する Veronese フォークは、余接空間における Veronese 曲線を介して定義され、その annihilator は $\alpha_\lambda^j = \sum_{i=0}^{n_j} \lambda_1^{n_j-i} \lambda_2^i \alpha_i^j$ によって生成される。
• 複素単純 Lie 環の正規実形式における引数変換法では、Veronese フォークは平坦であり、型 $(m_1, \ldots, m_r)$ をとる。ここで $m_j$ は代数の指数である。
• 微分 $dg_j^i(a,x)$ が線形独立で、削減された余接空間を張るため、フラッグ分布が完全に可積分である。このため、フォークは平坦である。
• ウェブに含まれる独立関数の数は $\sum_{j=1}^r (m_j + 1) = \frac{1}{2}(\dim \mathfrak{g} - r)$ であり、これは空間 $({{\mathfrak{g}}^* \setminus I})/{\mathcal{L}}$ の次元と一致する。
• 一般にはフォークは平坦でない。例えば例 3 および 3.4 におけるフラッグ分布の可積分性の欠如が、非平坦な Veronese フォークをもたらす。
• 本稿では、単純性条件の下で Veronese フォークの構成が完全な双ハミルトニアン構造の完全な局所的不変量であることを示し、Gelfand–Zakharevich の結果を一般化した。