[論文レビュー] Vertex decomposable graphs, codismantlability, Cohen-Macaulayness and Castelnuovo-Mumford regularity

Türker Bı́yı́koğlu, Yusuf Civan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、他の頂点の閉近傍を含む頂点を再帰的に削除することで定義される『codismantlableグラフ』を導入し、$(C_4, C_5)$-freeなウェルコートグラフにおいて、頂点分解可能性、codismantlability、Cohen-Macaulay性が同値であることを確立している。また、このようなグラフのCastelnuovo-Mumford正則度がその誘導マッチング数に等しくなることを証明し、次数1の頂点を持たない逐次Cohen-Macaulayグラフに関する最近の問いを解決した。

ABSTRACT

We call a (simple) graph G codismantlable if either it has no edges or else it has a codominated vertex x, meaning that the closed neighborhood of x contains that of one of its neighbor, such that G-x codismantlable. We prove that if G is well-covered and it lacks induced cycles of length four, five and seven, than the vertex decomposability, codismantlability and Cohen-Macaulayness for G are all equivalent. The rest deals with the computation of Castelnuovo-Mumford regularity of codismantlable graphs. Note that our approach complements and unifies many of the earlier results on bipartite, chordal and very well-covered graphs.

研究の動機と目的

• 近傍包含に基づく再帰的頂点削除によって定義される新しいグラフクラス、codismantlableグラフの定義と研究。
• 二部グラフ、弦的グラフ、非常にウェルコートグラフにおけるCohen-Macaulay性と正則度に関する先行結果を統合・拡張すること。
• 次数1の頂点を持たず、頂点被覆数が次数の半分である逐次Cohen-Macaulayグラフに関する最近の未解決問題を解決すること。
• $(C_4,C_5)$-freeな頂点分解可能なグラフに対して、Castelnuovo-Mumford正則度の組合せ的公式を誘導マッチング数の形で確立すること。
• 特定の正則度および被覆数条件を満たす無限族 $H_n$ を構成すること。

提案手法

• 頂点 $x$ が $N_G[y] \subseteq N_G[x]$ を満たすような $y \neq x$ が存在する場合、$x$ を『codominated頂点』と定義し、このような頂点の再帰的削除により codismantlable グラフを定義する。
• $(C_4, C_5)$-freeな頂点分解可能なグラフが codismantlable であることを証明し、構造的グラフ性質と代数的不変量の関連を確立する。
• $(C_4, C_5, C_7)$-freeなウェルコートグラフにおいて、頂点分解可能性、codismantlability、Cohen-Macaulay性がすべて同値であることを確立する。
• エッジクライークホイスカーリング操作を定義：エッジに素なクライーク分割における各クライークの頂点に新しい頂点を接続し、頂点分解可能かつ codismantlable なグラフを生成する。
• 有向無閉路グラフから共通の敵グラフ構成を用いて、頂点分解可能かつ codismantlable なグラフを生成する。この構成は、半順序集合の上界グラフを一般化する。
• これらの構成を用いて、任意の $(C_4, C_5)$-free グラフ $G$ のエッジクライーク分割 $\Pi$ に対して $\operatorname{reg}(G^\Pi) = \operatorname{im}(G^\Pi)$ が成り立ち、無限族 $H_n$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C_4$, $C_5$, $C_7$ のサイクルを含まないウェルコートグラフが頂点分解可能であるための条件は何か？
• RQ2 $(C_4, C_5)$-freeな頂点分解可能なグラフのCastelnuovo-Mumford正則度は、誘導マッチング数として組合せ的に計算可能か？
• RQ3 次数1の頂点を持たず、頂点被覆数が次数の半分であり、$\operatorname{reg}(G) = \operatorname{im}(G)$ を満たす逐次Cohen-Macaulayグラフは存在するか？
• RQ4 すべてのウェルコートグラフにおいて、codismantlability は頂点分解可能性を含意するか？反例は存在するか？
• RQ5 エッジクライークホイスカーリング操作は、任意のグラフから頂点分解可能かつ codismantlable なグラフを生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $(C_4, C_5)$-freeな頂点分解可能なグラフにおいて、Castelnuovo-Mumford正則度は誘導マッチング数に等しい：$\operatorname{reg}(G) = \operatorname{im}(G)$。
• 任意のグラフ $H$ について、$\operatorname{im}(H) = \operatorname{reg}(H) = \operatorname{m}(H)$ が成り立つならば、$H$ は codismantlable でなければならない。ここで $\operatorname{m}(H)$ はマッチング数を表す。
• 任意の $(C_4, C_5)$-free グラフ $G$ に対して、エッジクライーク分割 $\Pi$ を用いたエッジクライークホイスカーリングにより得られるグラフ $G^\Pi$ は、頂点分解可能かつ codismantlable である。
• 無限族 $H_n$（$n \geq 6$）は、頂点分解可能かつ codismantlable であり、逐次Cohen-Macaulayであり、$\operatorname{reg}(H_n) = \operatorname{im}(H_n)$ を満たす。また、次数1の頂点はなく、頂点被覆数は次数の半分に等しい。
• 任意の有向無閉路グラフの共通の敵グラフは、頂点分解可能かつ codismantlable であり、半順序集合の上界グラフの構成を一般化する。
• $(C_4, C_5, C_7)$-freeなウェルコートグラフにおいて、頂点分解可能性、codismantlability、Cohen-Macaulay性はすべて同値である。