[论文解读] Vertexwise criteria for admissibility of alcoves

Thomas J. Haines, Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过利用Bruhat序和Weyl群作用定义的'钝角锥'，提出了一种新的关于允许仿射胞腔集合${\rm Adm}(\mu)$的顶点式刻画。关键结果证明了Pappas-Rapoport-Smithling的顶点式允许性猜想，表明${\rm Adm}(\mu)$完全由顶点式条件决定，并建立了更强的Parahoric等式，从而解决了Kottwitz-Rapoport猜想中的关键组成部分。

ABSTRACT

We give a new description of the set $Adm(μ)$ of admissible alcoves as an intersection of certain "obtuse cones" of alcoves, and we show this description may be given by imposing conditions vertexwise. We use this to prove the vertexwise admissibility conjecture of Pappas-Rapoport-Smithling. The same idea gives simple proofs of two ingredients used in the proof of the Kottwitz-Rapoport conjecture on existence of crystals with additional structure.

研究动机与目标

• 为扩展仿射Weyl群中允许仿射胞腔集合${\rm Adm}(\mu)$提供一种新的顶点式描述。
• 证明Pappas-Rapoport-Smithling提出的顶点式允许性猜想，即${\rm Adm}(\mu)$由顶点式条件所刻画。
• 建立更强的Parahoric等式，使得${\rm Adm}^{st}(\mu) = {\rm Perm}^{st}(\mu) = {\rm Adm}(\mu)$成立，从而解决Kottwitz-Rapoport猜想中的一个关键成分。
• 证明允许集${\rm Adm}(\mu)$可通过顶点相关的局部模型，经方案的闭包和相干性恢复。

提出的方法

• 定义$B(t_{w\mu}(\bar{\bf a}), w)$为所有满足对所有足够正则的${\bf b} \subset w\bar{\mathcal{C}}$有$x(\bar{\bf a}) \leq_{\bf b} t_{w\mu}(\bar{\bf a})$的仿射胞腔$x$的集合，其中使用相对于基仿射胞腔的Bruhat序。
• 引入强允许集${\rm Adm}^{st}(\mu) = \bigcap_{w \in W} B(t_{w\mu}(\bar{\bf a}), w)$，其对应于仿射胞腔的'钝角锥'的交集。
• 利用Parahoric版本的允许集${\rm Adm}^J(\{\mu\}) = W_J {\rm Adm}(\{\mu\}) W_J$，将顶点式条件推广至任意单体。
• 证明对于任意子集族$\mathcal{J}$满足$J \subseteq S_{\rm aff}$，有${\rm Adm}^K(\{\mu\}) = \bigcap_{J \in \mathcal{J}} {\rm Adm}^J(\{\mu\})$，其中$K = \bigcap_{J \in \mathcal{J}} J$，通过约化到$\widetilde{W}(G)^\flat$的无挠商群完成。
• 利用$x \leq y$在$\widetilde{W}(G)$中当且仅当$x^\flat \leq y^\flat$在$\widetilde{W}(G)^\flat$中成立这一事实，将问题约化至约化根系情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 集合${\rm Adm}(\mu)$能否完全通过独立于全局Bruhat序考虑的顶点式条件来描述？
• RQ2 ${\rm Adm}^{st}(\mu) = {\rm Perm}^{st}(\mu)$是否普遍成立，从而证明顶点式允许性猜想？
• RQ3 Parahoric版本的允许集是否满足强交集公式${\rm Adm}^K(\{\mu\}) = \bigcap_{J \in \mathcal{J}} {\rm Adm}^J(\{\mu\})$，其中$K = \bigcap J$？
• RQ4 方案的闭包局部模型$M^\text{loc}_K$是否与通过自然态射$\pi_{K,\{i\}}$的预像$M^\text{loc}_{\{i\}}$的交集一致？
• RQ5 相干性猜想是否足以从基于顶点的局部模型恢复真正的局部模型？

主要发现

• 集合${\rm Adm}(\mu)$等于交集$\bigcap_{w \in W} B(t_{w\mu}(\bar{\bf a}), w)$，该交集通过仿射Weyl群中的倾斜锥定义了顶点式条件。
• Pappas-Rapoport-Smithling的顶点式允许性猜想已得证明：${\rm Adm}(\mu)$完全由顶点式条件刻画。
• ${\rm Adm}^{st}(\mu) = {\rm Perm}^{st}(\mu)$成立，且两者均等于${\rm Adm}(\mu)$，从而解决了Kottwitz-Rapoport猜想中的一个关键成分。
• 对于任意子集族$\mathcal{J}$满足$J \subseteq S_{\rm aff}$，有${\rm Adm}^K(\{\mu\}) = \bigcap_{J \in \mathcal{J}} {\rm Adm}^J(\{\mu\})$，其中$K = \bigcap J$，证明了强结构定理。
• 真正的局部模型$M^\text{loc}_K$等于方案的闭包交集$\bigcap_{i \in K} \pi^{-1}_{K,\{i\}}(M^\text{loc}_{\{i\}})$，表明单体的局部模型可从基于顶点的模型中恢复。