[논문 리뷰] Very slow heating for weakly driven quantum many-body systems

Wojciech De Roeck, Victor Verreet|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Quantum many-body systems참고 문헌 50인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 상호작용하는 해밀토니안 항들이 서로 가환하는 약하게 구동되는 양자 다체계에서, 비정상적인 작은 가열 속도로 인해 중간 주파수에서도 매우 느리게 가열됨을 증명한다. 핵심 결과는 편미분 강도에 대해 초다항적으로 증가하는 열화 시간에 대한 엄밀한 경계를 제시함으로써, 고주파수 전개나 효과적인 시간 불변 해밀토니안에 의존하지 않고도 장수하는 프리터멀라이제이션 상태를 확립한다.

ABSTRACT

It is well understood that many-body systems driven at high frequency heat up only exponentially slowly and exhibit a long prethermalization regime. We prove rigorously that a certain relevant class of systems heat very slowly under weak periodic driving at intermediate frequency as well. This class of systems are those whose time-dependent, possibly translation-invariant, Hamiltonian is a weak perturbation of a sum of mutually commuting terms. This condition covers several periodically kicked systems that have been considered in the literature recently, in particular kicked Ising models. In contrast to the high-frequency regime, the prethermalization dynamics of our systems is in general not related to any time-independent effective Floquet Hamiltonian. Our results also have non-trivial implications for closed (time-independent) systems. We use the example of an Ising model with transversal and longitudinal field to show how they imply confinement of excitations. More generally, they show how "glassy" kinetically constrained models emerge naturally from simple many-body Hamiltonians, thus connecting to the topic of 'translation-invariant localization'.

연구 동기 및 목표

• 약하게 구동되는 양자 다체계에서, 편미분 경계를 초월하여 매우 느린 가열을 보이는 프리터멀라이제이션 상태가 나타나는 조건을 확립하기 위해.
• 구동 주파수가 높지 않지만, 기저 스펙트럼 및 동역학적 제약 조건으로 인해 가열 속도가 비편미분적으로 작게 유지되는 시스템을 분석하기 위해.
• 프리터멀라이제이션 상태가 시간 불변 효과 해밀토니안에 의해 발생하는 것이 아니라, 가환 항들의 시간 순서진화 구조에 의해 발생함을 보여주기 위해.
• 결과를 정적 시스템으로 확장하여, 가환 국소 항들이 초다항적으로 안정한 보존 법칙과 잠재적 운동 제약을 어떻게 유도하는지 보여주기 위해.
• 이러한 결과를 이동 대칭성을 가진 시스템에서 유리한, 운동 제약이 있는 동역학 및 고립 현상의 기원과 연결하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 해밀토니안의 비대칭 항을 반복적으로 제거하기 위해 시간에 의존하는 Schrieffer-Wolff 유형의 변환을 사용하여 효과 해밀토니안의 수열을 구성한다.
• V_n, D_n, A_n를 포함하는 재귀적 체계를 정의하며, A_n은 [A_n, H^0] + V_n = 0 조건을 통해 주로 비가환 부분을 상쇄시키기 위해 선택되며, 이는 스펙트럼 갭의 구조를 활용한다.
• 이 방법은 비정상 해밀토니안 H^0의 보어 주파수(에너지 차이)에 대한 디오판틴 조건에 의존하며, 이는 공진 항을 억제한다.
• 가중치(norm)를 사용한 노름 추정은 $ orm{ullet}_{n} $ 으로 표현되며, $ rac{1}{|m{J} m{m}|} $ 에 의해 감쇠되며, 디오판틴 조건 $ |m{J} m{m}| otin rac{x}{|m{m}|^ au} $ 가 소수성을 보장한다.
• 반복은 유한한 $ n_* hicksim rac{1}{ ext{poly}(g)} $ 까지 계속되며, 잔여 편미분에 대한 경계를 도출하고, 시스템이 초기 상태와 오랜 시간 동안 가까이 유지됨을 증명한다. 이 시간은 $ hicksim ext{exp}( ext{poly}(1/g)) $ 수준이다.
• 정적 경우에 대해서도 동일한 반복 절차를 $ H = H^0 + gW $ 에 적용하여, H^0의 보존 법칙이 작은 외부 힘에 의해 초다항적으로 오래 지속됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하게 구동되는 양자 다체계에서, 구동 주파수가 높지 않더라도 장수하는 프리터멀라이제이션 상태가 나타날 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안의 어떤 구조적 조건이 가열 속도가 비편미분적으로 작게 유지되게 하며, 열화 시간이 $ 1/g $ 에 대해 초다항적으로 증가하게 하는가?
• RQ3 중간 주파수 영역에서 시간 불변 효과 해밀토니안이 존재하지 않더라도, 강력한 프리터멀라이제이션 메커니즘이 유지되는가?
• RQ4 이동 대칭성을 가진 해밀토니안에서 가환 국소 항들이 어떻게 준보존 양과 운동 제약을 유도하는가?
• RQ5 이러한 시스템이 무질서 없이도 고립 또는 유리한 동역학을 보이는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 서로 가환하는 항들로 이루어진 시간에 의존하는 해밀토니안을 가진 약하게 구동되는 시스템에서의 가열 속도는 $ ext{exp}(-c ext{poly}(1/g)) $ 로 경계되며, 이는 $ 1/g $ 에 대해 초다항적으로 증가하는 열화 시간을 의미한다.
• 고주파수 전개 없이도 프리터멀라이제이션 상태가 지속되며, 이는 시간 불변 효과 해밀토니안에 의해 지배되지 않는다.
• 정적 경우에 대해, 준보존 양의 수 $ Q $ 는 $ ext{O}(1) $ 이며, 그 유지 시간 역시 $ 1/g $ 에 대해 초다항적으로 증가한다. 이는 에너지 차이에 대한 디오판틴 조건이 성립할 경우에 한하여 성립한다.
• 가환 구조를 가진 $ H^0 $ 가 국소화된 진동자를 유도함으로써, 횡방향 및 縦방향 이징 모델에서 운동 제약과 고립 현상이 나타남을 보였다.
• 이 방법은 진동 상태가 초기 상태에서 얼마나 떨어져 있는지에 대한 엄밀한 경계를 도출하며, 오차는 $ orm{V_{n_*}}_{n_*} hicksim ext{poly}( ext{log}(n_*)) n_*^{ au+q} imes (gT)^{n_*} $ 로 제어되며, 이는 $ n_* hicksim ext{poly}(1/g) $ 일 때도 여전히 작다.
• 디오판틴 조건이 성립할 확률은 $ 1 - C x $ 이하로 경계되며, $ au > q $ 일 경우에 성립한다. 이는 이러한 시스템이 측도 이론적으로 일반적임을 시사한다.