[論文レビュー] Virtual Element Formulation For Finite Strain Elastodynamics

Mertcan Cihan, Aldakheel, F.+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の多角形・多面体メッシュを用いた大変形動的応答の高精度なシミュレーションを可能にする、有限ひずみ弾性動力学の低次元仮想要素法（VEM）定式化を提示する。この手法は質量行列を射影のみで計算することで安定化の必要を排除し、陰的ニューマーク時間積分を用いることで、線形基底関数と重心に基づく積分を用いても高い精度を達成する。

ABSTRACT

The virtual element method (VEM) can be seen as an extension of the classical finite element method (FEM) based on Galerkin projection. It allows meshes with highly irregular shaped elements, including concave shapes. So far the virtual element method has been applied to various engineering problems such as elasto-plasticity, multiphysics, damage and fracture mechanics. This work focuses on the extension of the virtual element method to efficient modeling of nonlinear elasto-dynamics undergoing large deformations. Within this framework, we employ low-order ansatz functions in two and three dimensions for elements that can have arbitrary polygonal shape. The formulations considered in this contribution are based on minimization of potential function for both the static and the dynamic behavior. Generally the construction of a virtual element is based on a projection part and a stabilization part. While the stiffness matrix needs a suitable stabilization, the mass matrix can be calculated using only the projection part. For the implicit time integration scheme, Newmark-Method is used. To show the performance of the method, various two- and three-dimensional numerical examples in are presented.

研究の動機と目的

• 大変形問題における仮想要素法（VEM）の動的定式化の不足を解消すること。
• VEMを静的応用から有限ひずみ弾性動力学における動的応用へと拡張すること。
• 射影部分にのみ依存することで安定化を必要としない、安定で効率的な質量行列定式化を開発すること。
• 1次元、2次元、3次元において、任意の多角形・多面体要素を動的シミュレーションに使用可能にする。
• 非線形弾性動力学におけるベンチマーク例を通じて、本手法の精度と頑健性を実証すること。

提案手法

• ひずみエネルギー、運動エネルギー、外力仕事の合計ポテンシャル関数の最小化により動的問題を定式化する。
• ガラーキン射影を用いて変位基底関数を多項式射影部と剰余項に分解する。
• 要素質量行列を基底関数の射影部分のみで計算し、安定化を回避する。
• 運動方程式の陰的時間積分にニューマーク-β法を適用する。
• 剛性行列は、Wriggersら[6]に基づくサブトライアングル化技術を用いて安定化する。サブメッシュは元の要素と同じ節点を有する。
• 質量行列の積分を要素の重心で評価し、サブトライアングル化を用いずとも十分な精度が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多角形・多面体要素を用いたVEMは、大変形弾性動力学に効果的に拡張可能か？
• RQ2 動的問題におけるVEMの質量行列は安定化を要するのか、それとも射影部分のみで計算可能か？
• RQ3 3次元動的問題において、質量行列の積分を重心に基づく積分のみで行う場合、VEM定式化の精度はどの程度か？
• RQ4 提案されたVEM定式化は、線形基底関数と最小限の安定化を用いても、高次FEMと同等の結果を達成できるか？
• RQ5 本手法は、波動伝播や3次元構造物における大変形のような非線形動的応答を、どのように捉えることができるか？

主な発見

• 射影部分のみで計算された質量行列は、3次元問題でさえも安定で高精度な結果をもたらし、安定化の必要がない。
• 線形基底関数と重心に基づく積分を用いたVEM-H2S定式化は、256個の仮想要素で、3200要素の参照FEM-H2解と一致する。
• 3次元波動伝播例では、VEM-H2Sの応答は解析解およびFEM-H1とよく一致し、時間経過に伴う変位誤差は無視できるほど小さい。
• 厚さのある梁の振動ベンチマークにおいて、VEM-H1およびFEM-H1はメッシュの細分化に伴い参照解に収束するが、VEM-H2Sは曲げモードを捕捉するための安定化により、より優れた精度を示す。
• 任意の節点数および形状を持つボロノイ要素を用いた場合でも、正確な結果が得られ、本手法の複雑で非凸なメッシュに対する頑健性が確認された。
• 質量行列の積分を要素の重心でのみ評価するだけで十分な精度が得られ、サブトライアングル化や断面二次モーメントの計算の必要がなくなる。