[論文レビュー] Virtual Element Method for geomechanics on reservoir grids

Odd Andersen, Halvor Møll Nilsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高歪み度の多面体セルを有する複雑なリザーバー格子上で地質力学的シミュレーションを実行するためのロバストな仮想要素法（VEM）を提案する。正確な引っ張り力に基づく荷重計算と修正された安定化項が、延長された曲面を持つセルにおいて性能を著しく向上させ、リマeshingを伴わずにコーナーポoinトグリッド上で安定かつ高精度な解を得ることを可能にする。

ABSTRACT

In this paper we study the use of Virtual Element method for geomechanics. Our emphasis is on applications to reservoir simulations. The physical processes that form the reservoirs, such as sedimentation, erosion and faulting, lead to complex geometrical structures. A minimal representation, with respect to the physical parameters of the system, then naturally leads to general polyhedral grids. Numerical methods which can directly handle this representation will be highly favorable, in particular in the setting of advanced work-flows. The Virtual Element method is a promising candidate to solve the linear elasticity equations on such models. In this paper, we investigate some of the limits of the VEM method when used on reservoir models. First, we demonstrate that care must be taken to make the method robust for highly elongated cells, which is common in these applications, and show the importance of calculating forces in terms of traction on the boundary of the elements for elongated distorted cells. Second, we study the effect of triangulations on the surfaces of curved faces, which also naturally occur in subsurface models. We also demonstrate how a more stable regularization term for reservoir application can be derived.

研究の動機と目的

• 高長さ比および曲面を持つ複雑で現実的なリザーバーグリッド上で直接、高精度な地質力学的シミュレーションを可能にすること。
• コーナーポイントグリッドに一般的に見られる延長された歪んだセルにおいて、標準的なVEMの安定化および荷重計算が失敗する問題に対処すること。
• 曲面や複雑な幾何形状を有するグリッドでも精度を保持できる安定かつ高精度なVEM定式化を開発すること。
• VEMをリマeshingなしに元のリザーバーグリッド上で直接使用できることを実証し、三角形分割や簡略化による精度損失を回避すること。
• MRSTプラットフォームを用いたリザーバーシミュレーションワークフローと互換性を持つ実用的で実装可能なVEMフレームワークを提供すること。

提案手法

• 一般の多面体グリッド（高長さ比および曲面を含む）上で線形弾性方程式を解くために仮想要素法（VEM）を採用する。
• 2次元におけるロバスト性を向上させるために、四角形要素におけるFEMとの正確な等価性に基づいて導出された修正された安定化項を用いる。
• 要素境界面上の引っ張り力に基づく離散勾配アプローチを用いて荷重項を計算し、安定化の選択に対する感度を低減する。
• 局所的双線形形式および安定化項の整合的構築を伴う、射影に基づくVEM定式化を採用する。
• 比較のため、曲面は三角形分割を適用する一方、元の曲面を持つグリッドを用いて幾何的近似誤差を評価する。
• 解析解およびベンチマークモデル（sbedおよびNorneリザーバー）を用いてMRSTフレームワーク内で妥当性を検証し、FEMおよび解析解と直接比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リザーバーのコーナーポイントモデルに一般的に見られる高歪み度で高長さ比の多面体グリッドにおいて、仮想要素法（VEM）をロバストに適用可能か。
• RQ2 リザーバーシミュレーションにおける延長された歪んだセルに適用する場合、安定化項の選択がVEMの精度にどのように影響するか。
• RQ3 要素境界面上の引っ張り力に基づく荷重項の計算は、標準的な体積力形式と比較して、安定性および精度を向上させるか。
• RQ4 リザーバーグリッドモデルにおける曲面がVEM解の精度に及ぼす影響はどの程度か。実際には無視してよいのか。
• RQ5 特に複雑な地質的特徴を有する3次元グリッドにおいて、リマeshingや簡略化なしにVEMが高精度を達成できるか。

主な発見

• 標準的なVEM安定化項は、極めて延長されたセルにおいて著しく失敗し、単純な2次元ケースですら、双線形形式の悪条件性により大きな誤差を生じる。
• 四角形要素におけるFEMとの等価性に基づいて導出された修正安定化項は、2次元において高長さ比セルに対して著しくロバスト性と精度を向上させる。
• 引っ張り力に基づく荷重計算手法は2次元および3次元の両方でロバストであり、安定化の選択に対する感度が極めて低く、ハングノードや曲面を持つ複雑なグリッドに対しても適している。
• 曲面を三角形分割しても全体の解に対する誤差は無視できるほど小さく、元の曲面グリッドは解析解と同等の結果をもたらす。
• Norneリザーバー・モデルにおいても、複雑な断層構造や曲面ピラールを有するが、VEMは高精度を維持しており、実世界の地質的グリッドでもロバストであることを確認した。
• sbedモデルにおいては、誤差分布が底面と上面の追加ノードを明確に識別しており、ノード配置と幾何形状が局所的誤差に顕著に影響することを示しており、適切な安定化および荷重処理によりこれを緩和できることがわかった。