[論文レビュー] Virtual elements for Maxwell's equations

L. Beirão da Veiga, Franco Dassi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般の多面体メッシュを用いた時間依存 Maxwell 方程式に対する低次の仮想有限要素法（VEM）を提案する。この手法は、ノード、エッジ、面の仮想有限要素空間からなる de Rham 列を活用する。半離散および完全離散スキームの両方において最適収束率を達成し、歪んだメッシュおよび多面体メッシュ上での数値実験により、磁束密度が機械精度まで正確に発散自由に保たれることを検証した。

ABSTRACT

We present a low order virtual element discretization for time dependent Maxwell's equations, which allow for the use of general polyhedral meshes. Both the semi- and fully-discrete schemes are considered. We derive optimal a priori estimates and validate them on a set of numerical experiments. As pivot results, we discuss some novel inequalities for de Rahm sequences of nodal, edge, and face virtual element spaces.

研究の動機と目的

• 一般の多面体メッシュをサポートする時間依存 Maxwell 方程式の低次の仮想有限要素離散化を構築すること。
• 3次元における H(curl) および H(div) 合致近似の枠組みを仮想有限要素空間へ拡張し、de Rham 列を構築すること。
• 半離散および完全離散形式の両方について、最適な事前誤差推定を確立すること。
• 歪んだメッシュおよび多面体メッシュ上での数値的検証を通じて、収束性および磁束密度のソリノイダル性の保持を確認すること。
• 特異性を有する問題や磁気流体力学（MHD）への応用を想定した高次拡張の基盤を提供すること。

提案手法

• 本手法は、3次元多面体要素におけるノード（H1）、エッジ（H(curl)）、面（H(div)）の仮想有限要素空間からなる de Rham 複体に基づく仮想有限要素式を採用する。
• 特に curl 及び発散作用素に対して、一貫性と安定性を確保するための安定化項を構築する。
• 半離散スキームは空間的 VEM 近似を用い、完全離散化には後退オイラー法による時間積分を適用する。
• 本手法は Maxwell 方程式の混合変分形式に依拠しており、離散化において連続問題の構造を保存する。
• 仮想有限要素空間は局所的射影を多項式部分空間上に定義し、自由度はモーメントおよび境界積分により定義される。
• 補間性質および仮想有限要素における de Rham 列に関する新規不等式を用いて、事前誤差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多面体メッシュ上で時間依存 Maxwell 方程式に適用可能な低次の仮想有限要素法を構築可能か？
• RQ2 3次元において H(curl) および H(div) 合致構造を保つように、仮想有限要素空間の de Rham 列をどのように設計できるか？
• RQ3 離散変分形式における安定性および一貫性を保証するための安定化技術は何か？
• RQ4 本手法は磁束密度 B のソリノイダル性を高い精度で保持するか？
• RQ5 空間と時間の両方を同時に漸近的に細かくした場合、本手法の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 数値実験により、半離散および完全離散の仮想有限要素スキームが、電場および磁場の両方において L2 範囲で最適収束率を達成することが確認された。
• 電場 E については、空間方向の収束率が約 1.0、時間方向の収束率も約 1.0 であり、h および τ の細分化に伴い誤差が減少した。
• 磁場 B についても、空間および時間方向の収束率がともに約 1.0 であり、すべてのメッシュ族において一貫した誤差減少が観察された。
• 離散的磁場 B_h の発散は 10⁻¹³ から 10⁻¹⁵ のオーダーに保たれ、機械精度まで正確に発散自由性が維持されていることを示した。
• 形状が規則的な voro メッシュでは、ランダムメッシュよりもシステム行列の条件数が低く、代数的誤差が小さく、発散の保持性が優れている。
• 磁場の誤差は空間離散化に起因しており、実験における時間解像度が粗いため、時間離散化誤差は顕著に現れにくい。