[論文レビュー] Virtually cocompactly cubulated Artin-Tits groups

Thomas Haettel|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、アーティン＝ティッツ群がバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能である（すなわち、CAT(0)立方体複体上で幾何的に作用する有限指数部分群をもつ）かどうかの推測的分類を提示する。この推測は、球面型、FC型、2次元型のアーティン＝ティッツ群において成立することを証明する。主な結果として、$n$-ストランドブレイド群が $n \geq 4$ のときバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能でないことが示され、コクセター行列における局所的障害条件を用いて長年のブレイド群に関する未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We give a conjectural classification of virtually cocompactly cubulated Artin-Tits groups (i.e. having a finite index subgroup acting geometrically on a CAT(0) cube complex), which we prove for all Artin-Tits groups of spherical type, FC type or two-dimensional type. A particular case is that for $n \geq 4$, the $n$-strand braid group is not virtually cocompactly cubulated.

研究の動機と目的

• アーティン＝ティッツ群がバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能である条件を特定し、CAT(0)立方体複体への作用に関する既知の結果を拡張すること。
• 球面型、FC型、2次元型のアーティン＝ティッツ群について、この推測を解決すること。
• 立方体複体化のための必要十分条件を、コクセター行列に基づく局所的組合せ的障害に依拠して特定すること。
• 構造的および群論的議論を用いて、$n$-ストランドブレイド群 $B_n$ が $n \geq 4$ のときバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能でないことを証明すること。

提案手法

• コクセター行列 $M = (m_{ab})$ に関する2つの条件に基づき、推測的分類（予想A）を提示する。これらの条件は生成子間の奇数および偶数非2関係を支配する。
• 立方体複体化を妨げる局所的障害をランク3およびランク4のパラボリック部分群に同定する再定式化（予想B）を導入する。
• アーティン＝ティッツ群が性質 $(\dagger)$ — 任意の $s \in S$ および $n \geq 1$ に対して $Z_{A(M)}(s^n) = Z_{A(M)}(s)$ — を満たすならば、予想Aの2つの条件がバーチャル立方体複体化の必要条件であることを証明（定理D）。
• 予想Aの2つの条件が立方体複体化の十分条件であることを示す（定理C）。これはパラボリック部分群から非正曲率の立方体複体を構成する手法を用いる。
• FC型群ではデリーニュ複体上の立方体計量、低ランク球面型部分群ではムォンソン計量を用いて性質 $(\dagger)$ を検証し、これらのケースで予想が確認されることを示す。
• 写像 $B_n \to \mathbb{Z}$ を用いた数え上げ準同型と $\mathbb{R}$ 上の適切な作用を用いて、$B_n/Z(B_n)$ からの有限指数の立方体複体化作用を $B_n$ に持ち上げ、$n \geq 4$ のときの非立方体複体化を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのアーティン＝ティッツ群が、CAT(0)立方体複体上で幾何的に作用する有限指数部分群をもつのか？
• RQ2 アーティン＝ティッツ群がバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能であるための、コクセター行列に関する必要十分条件は何か？
• RQ3 $n$-ストランドブレイド群 $B_n$ が $n \geq 4$ のときなぜバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能でないのか？
• RQ4 性質 $(\dagger)$ — 任意の $s \in S$ および $n \geq 1$ に対して $Z_{A(M)}(s^n) = Z_{A(M)}(s)$ — がすべてのアーティン＝ティッツ群で成り立ち、それが推測された立方体複体化条件を含意するのか？
• RQ5 ランク3およびランク4のパラボリック部分群における局所的障害パターンは、アーティン＝ティッツ群における立方体複体化の失敗を完全に特徴づけられるか？

主な発見

• $n \geq 4$ のとき、$n$-ストランドブレイド群 $B_n$ はバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能でない。これは予想Aの2つの条件の不成立および中心商からの作用の持ち上げによって示された。
• 球面型、FC型、およびランク2以下の非可約球面型パラボリック部分群をもつアーティン＝ティッツ群において、予想Aは成立する。これはこれらのケースで性質 $(\dagger)$ が検証されたことによる。
• 性質 $(\dagger)$ を仮定すれば、予想Aの2つの条件は立方体複体化の必要十分条件である。FC型群ではデリーニュ複体上の立方体計量を用いて $(\dagger)$ が検証された。
• 本論文は、標準的パラボリック部分群がランク3およびランク4である場合、アーティン＝ティッツ群がバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能かどうかを決定することを示した。これは予想Bにおける3つの局所的障害パターンによる。
• パラボリック部分群の自由積に交換関係を加えた非正曲率の立方体複体の構成により、ココンパクト作用が得られ、これにより定理Cが証明された。
• $B_n/Z(B_n)$ は $n \geq 4$ のときバーチャルにココンパクトに立方体複体化可能でない。なぜなら、このような作用が存在すれば $B_n$ に対しても同様の作用が存在することになり、定理Dに矛盾するからである。