[論文レビュー] Volume and Area Renormalizations for Conformally Compact Einstein Metrics

C. Robin Graham|ArXiv.org|Sep 8, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 79

ひとこと要約

本稿は、自己同型的コンpactなエインシュタイン多様体およびその最小部分多様体のための正規化された体積および面積不変量を導入し、共形境界付近での体積および面積の漸近展開を用いる。奇数次元の部分多様体に対しては、展開の定数項がグローバル不変量であることが示され、偶数次元の部分多様体に対しては、対数項の係数が共形不変量である—特に、共形平坦空間内の曲面に対してはウィルモア汎関数に一般化される。

ABSTRACT

This article describes some geometric invariants and conformal anomalies for conformally compact Einstein manifolds and their minimal submanifolds which have recently been discovered via the Anti-de Sitter/Conformal Field Theory correspondence.

研究の動機と目的

• 自己同型的コンpactなエインシュタイン多様体およびその最小部分多様体のための正規化された体積および面積不変量を定義し、分析すること。
• 漸近展開と正規化を用いて、このような幾何における体積および面積の発散を解消すること。
• 特に偶数次元の部分多様体に対して、漸近展開の対数項から生じる共形不変量を同定すること。
• 面積展開における対数係数が境界部分多様体の共形不変量であることを確立し、ウィルモア汎関数を一般化すること。
• 特に偶数次元において、体積および面積の正規化における共形異常構造を明確化すること。

提案手法

• 境界 $ M $ 上の共形代表元に関連する特別な定義関数 $ r $ を用い、$ \overline{g} = r^2 g_+ $ が $ \overline{X} $ に滑らかに拡張されることを満たす。
• 体積 $ \text{Vol}(\{r > \epsilon\}) $ および面積 $ \text{Area}(Y \cap \{r > \epsilon\}) $ の $ \epsilon \to 0 $ における漸近展開を分析し、べき則的および対数的項が現れることを示す。
• 奇数次元の最小部分多様体 $ Y $ に対して、面積展開における定数項が $ M $ 上の共形代表元の選び方に依存しないことを証明し、したがってグローバル不変量であることを示す。
• 偶数次元の $ Y $ に対して、$ \log \epsilon $ の係数が境界部分多様体 $ N $ の共形不変量であることを示し、局所的曲率データを用いて計算可能であることを示す。
• 特に $ k=2 $ の場合に、面積展開における対数係数 $ K $ の明示的公式を導出し、平均曲率ベクトルおよびテンソル $ P_{\alpha\beta} $ を含む。
• 偶数次元における定数項の共形異常を確立し、$ \Upsilon $ およびその微分を含む局所的微分作用素 $ \mathcal{Q}_N(\Upsilon) $ に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型的コンpactなエインシュタイン多様体の発散する体積および面積から、どのようなグローバル幾何的不変量を抽出できるか？
• RQ2 共形無限遠付近での体積および面積の漸近展開は、定義関数および共形代表元の選び方にどのように依存するか？
• RQ3 偶数次元の部分多様体における面積展開の対数係数が共形不変量である理由は何か？その幾何的解釈は何か？
• RQ4 偶数次元における正規化面積の共形異常の明示的形は何か？
• RQ5 最小部分多様体の面積正規化は、共形平坦空間におけるウィルモア汎関数とどのように関係するか？

主な発見

• 奇数次元の最小部分多様体 $ Y $ に対して、面積展開 $ \text{Area}(Y \cap \{r > \epsilon\}) $ の定数項は $ M $ 上の共形代表元の選び方に依存せず、グローバル不変量をもたらす。
• 偶数次元の $ Y $ に対して、$ \log \epsilon $ 項の係数 $ K $ は境界部分多様体 $ N $ の共形不変量であり、$ K = \int_N a^{(k)} \, da_N $ で与えられる。
• 特に $ k=2 $ の場合、対数係数は明示的に $ K = -\frac{1}{8} \int_N (|H|^2 + 4g^{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}) \, da_N $ であり、これはウィルモア汎関数を一般化する。
• 偶数次元における定数項の共形異常は $ A_{\hat{g}} - A_g = \int_N \mathcal{Q}_N(\Upsilon) \, da_N $ で与えられ、ここで $ \mathcal{Q}_N(\Upsilon) $ は $ \Upsilon $ およびその微分を含む。
• $ k=0 $ の場合、対数係数 $ K $ は境界点の個数に等しく、異常は $ \sum_{p \in N} \Upsilon(p) $ に一致し、自明な場合の整合性が確認される。
• 奇数次元において $ n $ が奇数のとき、双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ の正規化体積は $ (n+1)/2 $ の偶奇に応じて符号が変化し、奇数次元において非自明な振る舞いを示す。