[論文レビュー] Volume and Self-Intersection of Differences of Two Nef Classes

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kähler多様体上のネフな (1,1)-類 $\{\alpha\}$ と $\{\beta\}$ が $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\} > 0$ を満たすとき、差類 $\{\alpha - \beta\}$ の体積に対する下界を確立する。体積がトップ自己交叉を支配するという条件下で、$\mathrm{Vol}(\{\alpha - \beta\}) \geq \{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ を証明し、さらに自己交叉 $\{\alpha - \beta\}^n$ も同様の下界によって抑えられることを示しており、Demaillyの超越的モース不等式予想の特別な場合を支持する。

ABSTRACT

Let $\{α\}$ and $\{β\}$ be nef cohomology classes of bidegree $(1,\,1)$ on a compact $n$-dimensional Kähler manifold $X$ such that the difference of intersection numbers $\{α\}^n - n\,\{α\}^{n-1}.\,\{β\}$ is positive. We solve in a number of special but rather inclusive cases the quantitative part of Demailly's Transcendental Morse Inequalities Conjecture for this context predicting the lower bound $\{α\}^n-n\,\{α\}^{n-1}.\,\{β\}$ for the volume of the difference class $\{α-β\}$. We completely solved the qualitative part in an earlier work. We also give general lower bounds for the volume of $\{α-β\}$ and show that the self-intersection number $\{α-β\}^n$ is always bounded below by $\{α\}^n-n\,\{α\}^{n-1}.\,\{β\}$. We also describe and estimate the relative psef and nef thresholds of $\{α\}$ with respect to $\{β\}$ and relate them to the volume of $\{α-β\}$. Finally, broadening the scope beyond the Kähler realm, we propose a conjecture relating the balanced and the Gauduchon cones of $\partial\bar\partial$-manifolds which, if proved to hold true, would imply the existence of a balanced metric on any $\partial\bar\partial$-manifold.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体上での2つのネフコhomology類の差について、Demaillyの超越的モース不等式予想の定量的部分を扱う。
• 交差数 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ を用いて、クラス $\{\alpha - \beta\}$ の体積に対する下界を確立する。
• $\{\alpha\}$ の $\{\beta\}$ に対する相対的psefおよびネフ閾値を分析し、それらを $\{\alpha - \beta\}$ の体積に関連付ける。
• $\partial\bar{\partial}$-多様体上でのバランス型とGauduchon錐の間の双対性に関する予想を提示し、それがバランス型計量の存在を示唆する。

提案手法

• Monge-Ampère方程式と近似的な不動点技法を用いて、クラス $\{\alpha\}$ に属するケーラー計量を構成する。
• コーシー・シュワルツ不等式および点ごとの不等式（例：(85)式）を適用し、体積および自己交叉の下界を導出する。
• 関数 $j \mapsto \log(\{\alpha\}^j.\{\beta\}^{n-j})$ の凹性を用いて、重要な交差不等式を証明する。
• ネフ類に対して体積がトップ自己交叉に等しいという既知の事実を用い、特定の条件下で差クラスに対してもこれを拡張する。
• 電流のLebesgue分解と、正の電流の絶対連続部による体積の定義を用いる。
• ホルンダー型 $L^2$-推定と近似技法を用い、漸近的推定における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた正性条件のもとで、$\{\alpha - \beta\}$ の体積は下界 $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ を満たすか？
• RQ2 $\{\alpha - \beta\}$ の体積がそのトップ自己交叉数を支配するのはどのような条件下か？
• RQ3 $\{\alpha\}$ の $\{\beta\}$ に対するpsefおよびネフ閾値は、$\{\alpha - \beta\}$ の体積とどのように関係するか？
• RQ4 自己交叉数 $\{\alpha - \beta\}^n$ は $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ によって下から抑えられるか？
• RQ5 $\partial\bar{\partial}$-多様体上でのバランス型錐とGauduchon錐の間の予想的双対性から、バランス型計量の存在が導かれるか？

主な発見

• 体積がトップ自己交叉を支配するとき、$\mathrm{Vol}(\{\alpha - \beta\}) \geq \{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ が成り立ち、Demailly予想の重要なケースを確認する。
• 追加仮定なしに、自己交叉数 $\{\alpha - \beta\}^n$ は $\{\alpha\}^n - n\{\alpha\}^{n-1}.\{\beta\}$ によって下から抑えられる。
• $0 \leq k \leq n-p \leq n$ を満たすすべての $k, p$ に対して、不等式 $\{\alpha\}^{n-p}.\{\beta\}^p \cdot \{\alpha\}^{p+k}.\{\beta\}^{n-p-k} \geq \{\alpha\}^n \cdot \{\alpha\}^k.\{\beta\}^{n-k}$ が成り立つ。これは凹性と点ごとの推定により証明される。
• $\{\alpha\}$ の $\{\beta\}$ に対するpsefおよびネフ閾値が $\{\alpha - \beta\}$ の体積と関係していることが示され、体積下界の幾何的解釈が得られる。
• 正性条件のもとで、クラス $\{\alpha - \beta\}$ が大きい（ケーラー電流を含む）ことが証明され、以前の研究における予想の定性的な部分が確認される。
• 一部の $\partial\bar{\partial}$-多様体について、バランス型錐とGauduchon錐の間の双対性に関する予想を提示し、それが真であれば、任意のこのような多様体にバランス型計量が存在することを示唆する。