[論文レビュー] Von Neumann categories and extended $L^2$ cohomology

Michael Färber|ArXiv.org|Oct 26, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$L^2$ コホロジーを一般化し、アーベル拡大値をとる拡張されたホモロジーおよびコホロジー理論を定義する枠組みとして、フォン・ノイマン圏を導入する。これらの圏におけるトレースを用いて、フォン・ノイマン次元および局所ノビコフ–シュービン数といった数値的不変量を確立し、特に実解析的設定およびマッピングトーラスにおいて、ねじれ対象の除数を用いた幾何的解釈を示す。

ABSTRACT

In this paper we suggest a new general formalism for studying the invariants of polyhedra and manifolds comming from the theory of von Neumann algebras. First, we examine generality in which one may apply the construction of the extended abelian category, which was suggested in the previous publications of the author, using the ideas of P.Freyd. This leads to the notions of a finite von Neumann category and of a trace on such category. Given a finite von Neumann category, we study the extended homology and cohomology theories with values in the abelian extension. Any trace on the initial category produces numerical invariants - the von Neumann dimension and the Novikov - Shubin numbers. Thus, we obtain the local versions of the Novikov - Shubin invariants, localized at different traces. In the "abelian" case this localization can be made more geometric: we show that any torsion object determines a "divisor" -- a closed subspace of the space of the parameters. The divisors of torsion objects together with the information produced by the local Novikov - Shubin invariants may be used to study multiplicities of intersections of algebraic and analytic varieties (we discuss here only simple examples demonstrating this possibility). We compute explicitly the divisors and the von Neumann dimensions of the extended cohomology in the real analytic situation. We also give general formulae for the extended cohomology of a mapping torus. Finally, we show how one can define a De Rham version of the extended cohomology and prove a De Rham type theorem.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマン代数を用いた $L^2$-不変量の一般形式的枠組みを構築すること。
• 有限フォン・ノイマン圏内での拡張されたホモロジーおよびコホロジー理論を定義すること。
• これらの圏におけるトレースに伴う数値的不変量（フォン・ノイマン次元および局所ノビコフ–シュービン数）を関連付けること。
• ねじれ対象をパラメータ空間内の除数として幾何的に解釈し、交差多重度の解析を可能にすること。
• 実解析的状況における拡張コホロジーに対して、ド・ラーム型の定理を確立すること。

提案手法

• 局所化およびイデアルの形式的枠組みを用いて、有限フォン・ノイマン圏のアーベル拡大を構成する。
• 圏上のトレースを定義し、拡張コホロジー群のフォン・ノイマン次元およびノビコフ–シュービン不変量を導出する。
• 拡張圏におけるねじれ対象が、トレースのパラメータ空間内の閉部分空間（除数）を定めるものとして特徴づける。
• 実解析的多様体にこの形式的枠組みを適用し、明示的な除数およびフォン・ノイマン次元を計算する。
• 圏論的枠組みを用いて、マッピングトーラスの拡張コホロジーの一般式を導出する。
• 拡張コホロジーのド・ラーム版を導入し、実解析的設定におけるド・ラーム同型定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、フォン・ノイマン代数を用いたカテゴリカル枠組みにおいて、拡張 $L^2$ コホロジーを形式化できるか？
• RQ2 有限フォン・ノイマン圏におけるトレースから生じる数値的不変量は何か？ そして、それらは局所不変量とどのように関係するか？
• RQ3 拡張圏におけるねじれ対象は、パラメータ空間内の除数としてどのように幾何的に解釈できるか？
• RQ4 実解析的設定における拡張コホロジーおよびフォン・ノイマン次元の明示的表現は何か？
• RQ5 実解析的圏において、拡張コホロジーに対してド・ラーム型の定理を確立できるか？

主な発見

• 実解析的状況における拡張コホロジー群は、そのフォン・ノイマン次元および除数の明示的計算が可能である。
• 拡張圏におけるねじれ対象は、トレースの空間内の閉部分空間（除数）に対応し、幾何的解釈が得られる。
• 局所ノビコフ–シュービン不変量は各トレースにおいて定義され、古典的不変量の局所化版を提供する。
• 圏論的枠組みを用いて、マッピングトーラスの拡張コホロジーの一般式が導出された。
• 実解析的状況において、拡張コホロジーに対してド・ラーム同型定理が証明され、微分形式と結びついた。
• この形式的枠組みにより、代数的および解析的多様体の交差多重度の研究が、除数および不変量のデータを用いて可能になる。