[论文解读] W algebra, Cosets and VOA for 4d N = 2 SCFT from M5 branes

Dan Xie, Wenbin Yan|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 79被引用 6

一句话总结

本文通过构造与类型 $[q^m,1^s]$ 的幂零轨道相关的 $W$ 代数，识别出由 M5-brane 构造的、具有 $χ=2$ 的一类 4d 超共形场论（SCFT）的顶点算子代数（VOA）。研究证明，一般 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理论的 VOA 可表示为这些 $W$ 代数的商代数，揭示了新的对偶性与性质，例如通过 4d SCFT 工程在 2d VOA 中实现的层级-秩对偶性与共形嵌入。

ABSTRACT

We identify vertex operator algebras (VOAs) of a class of Argyres-Douglas (AD) matters with two types of non-abelian flavor symmetries. They are the $W$ algebra defined using nilpotent orbit with partition $[q^m,1^s]$. Gauging above AD matters, we can find VOAs for more general $\mathcal{N}=2$ SCFTs engineered from 6d $(2,0)$ theories. For example, the VOA for general $(A_{N-1}, A_{k-1})$ theory is found as the coset of a collection of above $W$ algebras. Various new interesting properties of 2d VOAs such as level-rank duality, conformal embedding, collapsing levels, coset constructions for known VOAs can be derived from 4d theory.

研究动机与目标

• 识别由 6d $(2,0)$ 理论在具有不规则奇点与正则奇点时工程化得到的、具有两个非阿贝尔味对称性的阿吉雷斯-道格拉斯（AD）理论所对应的顶点算子代数（VOA）
• 通过商代数构造，建立通过共形规范化构建的 4d $χ=2$ SCFT 与 2d VOA 之间的对应关系
• 通过分析其 4d SCFT 来源，推导 2d VOA 的新性质，如层级-秩对偶性、共形嵌入与凝聚层级
• 基于幂零轨道数据，为经典李代数 $\mathfrak{sl}_n$、$\mathfrak{so}_{2n}$、$\mathfrak{so}_{2n+1}$ 与 $\mathfrak{sp}_{2n}$ 的 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 代数提供中心电荷的显式公式

提出的方法

• 作者使用量子德林费尔德-索科洛夫（qDS）约化，将 4d 中从全 puncture 降低到一般 puncture 的操作映射到 2d VOA 上的约化，从而将 4d 操作与 2d 代数结构联系起来
• 他们将具有两个非阿贝尔味对称性的 AD 理论的 VOA 识别为 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 代数，该代数通过从仿射 Kac-Moody 代数在由不规则奇点数据决定的层级 $k'$ 上进行量子哈密顿约化构造
• 一般 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理论的 VOA 通过多个 $W$ 代数的商代数构造得到，利用了 4d SCFT 与 2d VOA 之间的共形规范化对应关系
• 通过使用与幂零轨道划分相关的 $\mathfrak{sl}_2$-三元组，计算 $\mathfrak{g}_0$ 与 $\mathfrak{g}_{1/2}$ 子空间的 Dynkin 指标与维数公式，显式计算中心电荷公式
• 该构造依赖于 $\mathfrak{sl}_2$-三元组与正交基，以计算内积 $ (\rho,\rho) $、$ (x_0,x_0) $ 与 $ (\rho,x_0) $，这些量进入中心电荷公式
• 对于经典李代数，作者基于 $x_0$ 的显式矩阵实现，推导出 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 的中心电荷的闭式表达式，以 $n$、$q$、$m$、$k$ 与 $\mathfrak{g}$ 的秩表示

实验结果

研究问题

• RQ1 当具有不规则奇点与正则奇点的 M5-brane 构造产生一个具有两个非阿贝尔味对称性的 4d $χ=2$ SCFT 时，如何识别其顶点算子代数（VOA）？
• RQ2 4d 中对物质多重态进行共形规范化的操作与 2d 中对 VOA 进行商代数构造的操作之间，存在何种精确对应关系？
• RQ3 在 4d SCFT 框架下，2d VOA 中的性质（如层级-秩对偶性、共形嵌入与凝聚层级）如何产生？
• RQ4 对于经典李代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$、$\mathfrak{so}_{2n}$、$\mathfrak{so}_{2n+1}$、$\mathfrak{sp}_{2n}$，给定划分 $[q^m,1^s]$，$W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 代数的中心电荷是什么？
• RQ5 一般 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理论的 VOA 是否可以作为与类型 $[q^m,1^s]$ 幂零轨道相关的 $W$ 代数的商代数来构造？

主要发现

• 具有两个非阿贝尔味对称性的阿吉雷斯-道格拉斯理论的 VOA 被识别为 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$，其中 $k$ 由不规则奇点数据决定，该代数通过从仿射 Kac-Moody 代数进行量子哈密顿约化构造
• 一般 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理论的 VOA 被实现为多个形式为 $W^k(\mathfrak{sl}_n,[q^m,1^{n-mq}])$ 的 $W$ 代数的商代数，为这些 VOA 提供了新的构造方法
• $W^k(\mathfrak{sl}_n,[q^m,1^{n-mq}])$ 的中心电荷为 $c = mq(k - n + (m + 3n)q - (k + m + n)q^2) - \frac{k + k(m - n)n + mn^2}{k + n}$，该结果通过显式计算 $\mathfrak{g}_0$ 与 $\mathfrak{g}_{1/2}$ 的维数与内积得出
• 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2n}$，中心电荷为 $c = -\frac{1}{2}mq((k + m + 2n - 2)q^2 - q(6n + m - 3) + 2n - k + 1) - \frac{kn(m - 2n + 1) + 2mn(n - 1)}{k + 2n - 2}$，适用于偶数 $q$ 与 $m$
• 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2n+1}$，中心电荷为 $c = -\frac{1}{2}mq((k + m + 2n - 1)q^2 - q(6n + m) + 2n - k + 2) - \frac{(2n+1)(m(k + 2n - 1) - 2kn)}{2(k + 2n - 1)}$，在相同奇偶性条件下推导得出
• 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}_{2n}$，中心电荷为 $c = -\frac{1}{2}mq((2k + m + 2n + 2)q^2 - q(6n + m + 3) + 2n - 2k - 1) - \frac{n(m(n+1) - k(2n - m + 1))}{k + n + 1}$，其中 $q$ 为偶数