[論文レビュー] $W$-entropy formulas and Langevin deformation of flows on Wasserstein space over Riemannian manifolds

Songzi Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上のワッサースタイン空間における流れのラングヴィン変形を導入し、勾配流と測地流の間を補間するものであり、この変形に沿ってペレルマン型の $W$-エントロピー公式を確立する。変形の存在、一意性、正則性、収束性を証明するとともに、$CD(0,m)$-条件の下での剛性定理を示し、エントロピー単調性および凸性の結果をより広いクラスの流れへと拡張する。

ABSTRACT

We introduce Perelman's $W$-entropy and prove the $W$-entropy formula along the geodesic flow on the $L^2$-Wasserstein space over compact Riemannian manifolds equipped with Otto's Riemannian metric, which allows us to recapture a previous result due to Lott and Villani on the displacement convexity of $s{ m Ent}+ns\log s$ on $P^\infty_2(M)$ over Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature. To better understand the similarity between the $W$-entropy formula for the geodesic flow on the Wasserstein space and the $W$-entropy formula for the heat equation of the Witten Laplacian on the underlying manifolds, we introduce the Langevin deformation of flows on the Wasserstein space over Riemannian manifold, which interpolates the gradient flow and the geodesic flow on the Wasserstein space over Riemannian manifolds, and can be regarded as the potential flow of the compressible Euler equation with damping on manifolds. We prove the existence, uniqueness and regularity of the Langevin deformation on the Wasserstein space over the Euclidean space and compact Riemannian manifolds, and prove the convergence of the Langevin deformation for $c ightarrow 0$ and $c ightarrow \infty$ respectively. We prove an analogue of the Perelman type $W$-entropy formula along the Langevin deformation on the Wasserstein space on Riemannian manifolds. A rigidity theorem is proved for the $W$-entropy for the geodesic flow, and a rigidity model is also provided for the Langevin deformation on the Wasserstein space over complete Riemannian manifolds with the $CD(0, m)$-condition.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上のワッサースタイン空間における測地流へのペレルマンの $W$-エントロピー枠組みの拡張。
• ラングヴィン変形を定義し、ワッサースタイン空間上の勾配流と測地流の間を連続的に補間する流れとしての解析を厳密に行う。
• ユークリッド空間およびコンパクトなリーマン多様体上でのラングヴィン変形の存在、一意性、正則性を証明する。
• ラングヴィン変形に沿ってペレルマンに類似した $W$-エントロピー公式を確立し、曲率条件の下での剛性定理を導出する。
• 曲率の有界性をもつ測度空間における $W$-エントロピー単調性とエントロピー関数の変位凸性との関係を調査する。

提案手法

• ラングヴィン変形を、エントロピーに駆動される勾配流と最適輸送に駆動される測地流の間を補間するワッサースタイン空間上の流れとして定義し、減衰パラメータ $c$ を用いる。
• ラングヴィン流れに沿った密度 $ ho(t)$ の時間発展方程式を導出し、ワッサースタイン計量、エントロピー勾配、および $1/c^2$ に比例する減衰項を含む。
• オットーの無限次元リーマン幾何学を $P_2(M)$ 上に適用し、$L^2$-ワッサースタイン計量とリーマン勾配の $L^2$-随伴を用いて接ベクトルを定義する。
• 曲率を $CD(0,m)$-条件を用いて関連付けることで、ボルツマン＝シャノンエントロピーの2階微分を計算し、ラングヴィン流れに沿った $W$-エントロピー公式を確立する。
• $CD(K,m)$-条件およびバクリ＝エメールのリッチ曲率を用いて、エントロピー、その微分、および速度のワッサースタインノルムを含む微分不等式を導出する。
• 最適輸送、確率解析、幾何解析の技法を用いて、$c \to 0$（勾配流の極限）および $c \to \infty$（測地流の極限）におけるラングヴィン流れの収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上のワッサースタイン空間における流れのラングヴィン変形に対して、$W$-エントロピー公式を確立できるか？
• RQ2 ラングヴィン変形は、ワッサースタイン空間上の勾配流と測地流の間をどのように補間するのか。その力学的性質は何か？
• RQ3 パrameter $c \to 0$ および $c \to \infty$ の極限におけるラングヴィン流れの振る舞いは何か。それらは既知の流れとどのように関係するか？
• RQ4 どのような曲率条件下で、$W$-エントロピーがラングヴィン変形に沿って単調的または剛性を示すか？
• RQ5 $W$-エントロピー枠組みを、RCD$(0,N)$ またはスーパー・リッチフロー構造を持つ測度空間へと拡張できるか？

主な発見

• ユークリッド空間およびコンパクトなリーマン多様体上でのワッサースタイン空間上のラングヴィン変形は、存在し、一意的であり、時間に関して $C^2$-正則である。
• $c \to 0$ のとき、ラングヴィン流れはボルツマン＝シャノンエントロピーの勾配流に収束する。$c \to \infty$ のとき、ワッサースタイン空間上の測地流に収束する。
• ペレルマンに類似した $W$-エントロピー公式が、ラングヴィン変形に沿って確立され、エントロピーの2階微分、速度ノルム、曲率項を含む。
• $CD(0,m)$-条件の下で $W$-エントロピーが非減少であることが示され、剛性の場合には特定のモデル構造が成立する。
• 剛性定理が証明された：もし $W$-エントロピーが測地流に沿って一定であるならば、多様体は定数密度をもつユークリッド空間に等長である必要がある。
• ラングヴィン流れに沿って、次の微分不等式が導出された： \\n$$ \frac{d^2}{dt^2} \text{Ent} + \left(2\alpha(t) + \frac{1}{c^2}\right) \frac{d}{dt} \text{Ent} + N\alpha^2(t) + \frac{1}{c^2}\|\nabla \text{Ent}\|^2 \geq \frac{1}{N}|\langle \nabla \text{Ent}, \dot{\rho} \rangle + N\alpha(t)|^2 + K\|\dot{\rho}\|^2 $$ ここで $\alpha(t) = (\log u)'$ であり、$m = N$ である。