[論文レビュー] W-Markov measures, transfer operators, wavelets and multiresolutions

Daniel Alpay, Palle E. T. Jørgensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、正の転送作用素とマルコフ過程の間の一般化された双対性を確立し、任意の転送作用素 $ R $ と初期測度 $ \mu_0 $ が $ W $-マルコフ過程を生成することを示している。一方、すべてのマルコフ連鎖はこうした作用素から生じる。主な貢献は、転送作用素、ウェーブレット、多スケール解析、反復関数系（IFS）を統合する枠組みを提供することであり、$ R $ のスペクトル的性質がマルコフ連鎖に伝播し、ソリノイドに基づく構成が $ \mathbf{L}_2 $ 内で一貫した多スケール構造をもたらす。

ABSTRACT

In a general setting we solve the following inverse problem: Given a positive operators $R$, acting on measurable functions on a fixed measure space $(X,\mathcal B_X)$, we construct an associated Markov chain. Specifically, starting with a choice of $R$ (the transfer operator), and a probability measure $μ_0$ on $(X, \mathcal B_X)$, we then build an associated Markov chain $T_0, T_1, T_2,\ldots$, with these random variables (r.v) realized in a suitable probability space $(Ω,\mathcal F, \mathbb P)$, and each r.v. taking values in $X$, and with $T_0$ having the probability $μ_0$ as law. We further show how spectral data for $R$, e.g., the presence of $R$-harmonic functions, propagate to the Markov chain. Conversely, in a general setting, we show that every Markov chain is determined by its transfer operator. In a range of examples we put this correspondence into practical terms: $(i)$ iterated function systems (IFS), $(ii)$ wavelet multiresolution constructions, and $(iii)$ IFSs with random control.

研究の動機と目的

• 与えられた正の転送作用素 $ R $ と初期測度 $ \mu_0 $ からマルコフ過程を構成する逆問題に取り組み、ウェーブレットやIFSにおける既知の構成を一般化する。
• 一般的な測度論的条件下で、マルコフ連鎖とその関連する転送作用素の間の双方向の対応関係を確立する。
• ウェーブレット多スケール解析、定数または状態依存確率のIFS、自己準同型の力学的系といった多様な応用を、転送作用素に基づく統一的枠組みに統合する。
• スペクトル的データ（例：調和関数）が $ R $ からマルコフ過程に伝播することを示し、確率的力学系のスペクトル解析を可能にする。
• 自己準同型に関連するソリノイド上の $ \mathbf{L}_2 $-空間に多スケール構造を構築し、自己準同型がスケーリング関係にある場合に、ウェーブレットに基づく多スケール構造と同値であることを証明する。

提案手法

• 転送作用素 $ R $ を $ (Rf)(x) = \mathbb{E}[f \circ T_{n+1} \mid T_n = x] $ として定義し、条件付き期待値とマルコフ遷移ダイナミクスを関連付ける。
• 初期測度 $ \mu_0 $ と作用素 $ R $ からマルコフ連鎖 $ (T_n) $ を構成する。$ T_0 $ の分布を $ \mu_0 $ と定め、$ R $ を用いて遷移核を定義する。
• 自己準同型 $ \sigma $ に関連するソリノイド空間 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ を用いて、$ \mathbf{L}_2 $-多スケール構造を実現し、スケールは $ \sigma $ で定義する。
• もし $ R $ が $ \sigma $-同次的であれば、$ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ 上の対応するマルコフ過程が、ウェーブレットの多スケール解析と同型な多スケール解析をもたらすことを証明する。
• 定数または状態依存確率 $ p_i(x) $ を持つIFSにこの枠組みを適用し、転送作用素を用いてウェーブレットフィルターや確率的制御系をモデル化する。
• 停止時刻の公式とマルティンゲール理論を用いて長期的挙動を分析し、$ R $-調和関数がマルティンゲール $ M_n = h \circ T_n $ を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の一般化された正の転送作用素 $ R $ と初期測度 $ \mu_0 $ を用いて、測度空間 $ (X, \mathcal{B}_X) $ 上に $ W $-マルコフ過程をどのように構成できるか？
• RQ2 マルコフ連鎖とその関連する転送作用素の間の正確な対応関係は何か？ また、スペクトル的データ（例：調和関数）は $ R $ から過程にどのように伝播するか？
• RQ3 確率が定数または変動する状態依存確率 $ p_i(x) $ を持つ反復関数系（IFS）の転送作用素は、標準的なウェーブレット多スケール構成をどのように一般化するか？
• RQ4 自己準同型 $ \sigma $ に関連するソリノイド構成 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ は、$ \mathbf{L}_2 $ 内に多スケール構造をどのようにもたらし、またどのような条件下でウェーブレットに基づく多スケール構造と一致するか？
• RQ5 関数 $ h $ が $ R $-調和関数であるとき、過程 $ M_n = h \circ T_n $ が $ (T_n) $ が生成するフィルトレーションに関してマルティンゲールをなすための条件は何か？ また、これは $ R $ のスペクトル理論とどのように関係するか？

主な発見

• 逆問題が解決された：任意の正の転送作用素 $ R $ と初期測度 $ \mu_0 $ に対して、$ T_0 \sim \mu_0 $ を満たす $ W $-マルコフ過程 $ (T_n) $ が構成され、$ R $ が遷移法則を決定する。
• すべてのマルコフ連鎖は一意に転送作用素 $ R $ から生じるため、マルコフ過程とこうした作用素との間には一対一の対応関係が存在する。
• $ R $-調和関数 $ h $（すなわち $ Rh = h $）は、マルティンゲール $ M_n = h \circ T_n $ を生成する。より一般には、固有値 $ \lambda $ を持つ $ R $ の固有関数は、$ \lambda^{-n} f \circ T_n $ の形のマルティンゲールを生成する。
• 自己準同型 $ \sigma $ に関連するソリノイド空間 $ \mathrm{Sol}_\sigma(X) $ は、$ \mathbf{L}_2 $ 内に多スケール構造を備え、スケールは $ \sigma $ で定義される。$ \sigma $ がスケーリング写像である場合、この構造はウェーブレット多スケール解析と一致する。
• ウェーブレット構成において、転送作用素 $ R $ はフィルターシステムのルエール作用素に対応し、$ \mathbf{L}_2(\mathrm{Sol}_\sigma(X)) $ 内の多スケール構造は、標準的なウェーブレット多スケール構造と一致する。
• 状態依存確率 $ p_i(x) $ を持つIFS—多バンドウェーブレットフィルターをモデル化する—は自然に転送作用素によって記述され、対応するマルコフ過程はウェーブレット符号化の確率的ダイナミクスを捉えている。