[論文レビュー] Warped cones and proper affine isometric actions of discrete groups on Banach spaces

Qin Wang, Zhen Wang|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散群が $L_p$-空間上に固有なアフィン等距的作用をもつことと、ワーペッドコンの $L_p$-空間へのファイバー付き粗挿入可能性との間の正確な対応関係を確立する。$1 \leq p < \infty$ に対して、ワーペッドコン $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ が $L_p$-空間にファイバー付き粗挿入可能であることは、群 $\Gamma$ が $L_p$-空間上に固有なアフィン等距的作用をもつことと同値であることを証明する。この結果は、バナッハ空間の安定クラスへと拡張され、特定のワーペッドコンがいかなる $L_p$-空間にも粗挿入可能でない場合にも、最大粗 Baum–Connes および粗 Novikov 猜想が成り立つことを示唆する。

ABSTRACT

Warped cones are metric spaces introduced by John Roe from discrete group actions on compact metric spaces to produce interesting examples in coarse geometry. We show that a certain class of warped cones $\mathcal{O}_Γ(M)$ admit a fibred coarse embedding into a $L_p$-space ($1\leq p

研究の動機と目的

• バナッハ空間上での固有なアフィン等距的群作用に基づいて、ワーペッドコンのファイバー付き粗挿入可能性を特徴づけること。
• ワーペッドコンの幾何的性質と、粗 Baum–Connes や Novikov 猜想のような解析的予想との間の関係を拡張すること。
• Druźtu と Nowak が提起した予想を解決し、特定のワーペッドコンがファイバー付き粗挿入可能でない場合に限り、粗 Baum–Connes 猜想の反例を提供することを示すこと。
• ヒルバート空間から $L_p$-空間や他の安定バナッハ空間へと結果を一般化すること。これには、一様凸空間や非自明な型を持つ空間が含まれる。
• 特徴づけを高次インデックス理論に応用し、特定の粗挿入不可能なワーペッドコンに対して、最大粗 Baum–Connes および粗 Novikov 猜想が成り立つことを証明すること。

提案手法

• Roe のワーペッド距離構成法を用いて、コンパクトな距離空間上の離散群の作用からワーペッドコン $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ を構成する。
• 変換群の線形化技術を用い、$M$ 上の群作用を $L_2(M)$ 上のユニタリ表現に結びつける。これにより、$L_p$-空間への拡張が可能になる。
• S. Arnt の最近の結果を応用し、$L_p$-空間へのファイバー付き粗挿入可能性が、$L_p$-空間上に固有なアフィン等距的作用の存在を示すこと。
• バナッハ空間の超積および Lebesgue-Bochner $L_p$-空間に関する安定性の性質を活用し、$L_p$-空間を超えて、一様凸空間や非自明な型を持つ空間などのクラスへと結果を一般化する。
• $K$-理論およびアセンブリーマップに関する既知の結果を用い、ファイバー付き粗挿入可能性から粗 Baum–Connes および Novikov 猜想の正当性を導出する。
• 具体的な例（$\mathcal{O}_{\mathbb{F}_2}(\text{SU}(2))$ や双曲群のプロファイントコンプリートーションなど）に特徴づけを適用し、粗挿入不可能な空間に対しても予想が成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワーペッドコン $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ が $L_p$-空間にファイバー付き粗挿入可能であることと、群 $\Gamma$ が $L_p$-空間上に固有なアフィン等距的作用をもつこととの間には、同値関係が成立するか？
• RQ2 群 $\Gamma$ がいかなる $L_p$-空間にも粗挿入可能でない場合に、粗 Baum–Connes および Novikov 猜想が確認可能か？
• RQ3 この特徴づけは、ヒルバート空間から $1 \leq p < \infty$ の $L_p$-空間や一様凸空間などの、他の安定バナッハ空間クラスへどの程度拡張可能か？
• RQ4 残余有限群 $\Gamma$ のプロファイントコンプリートーション $\widehat{\Gamma}((\Gamma_n))$ は、$\mathcal{O}_\Gamma(G)$ のファイバー付き粗挿入可能性とどのように関係するか？
• RQ5 群 $\Gamma$ と空間 $M$ にどのような条件を課すと、$\mathcal{O}_\Gamma(M)$ が $L_p$-空間にファイバー付き粗挿入可能になるか？

主な発見

• ワーペッドコン $\mathcal{O}_\Gamma(M)$ が $L_p$-空間（$1 \leq p < \infty$）にファイバー付き粗挿入可能であることと、離散群 $\Gamma$ が $L_p$-空間上に固有なアフィン等距的作用をもつことは同値である。
• この同値関係は、超積および Lebesgue-Bochner $L_p$-空間に関して安定なバナッハ空間のクラスへ拡張可能であり、一様凸空間や非自明な型を持つ空間を含む。
• $\mathcal{O}_{\mathbb{F}_2}(\text{SU}(2))$ に対して最大粗 Baum–Connes 猜想が成り立つ。これは、$1 \leq p < \infty$ に対していかなる $L_p$-空間に対しても粗挿入可能でないワーペッドコンである。
• 群 $\Gamma$ が有限生成な双曲群で、$G$ がコンパクトな距離空間で $\Gamma$ が $G$ の稠密部分群かつ有界幾何的性質を持つ場合、ワーペッドコン $\mathcal{O}_\Gamma(G)$ に対して粗 Novikov 猜想が成り立つ。
• 任意のコンパクトリー群 $G$ の可算部分群 $\Gamma$ に対して、$G$ が局所的に $\text{SO}(3)^k \times \text{U}(1)^m$ と同型である場合、$\mathcal{O}_\Gamma(G)$ に対して最大粗 Baum–Connes および粗 Novikov 猜想が成り立つ。
• 従来のボックス空間に関する結果を一般化する：$\Box_{\{\Gamma_n\}}\Gamma$ が $L_p$-空間にファイバー付き粗挿入可能であることと、$\Gamma$ が $L_p$-空間上に固有なアフィン等距的作用をもつことは同値である。