[論文レビュー] Warped Product Pointwise Semi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、ケーラー多様体における点毎半スラン卜部分多様体を導入し、$M_T \times_f M_\theta$ の形をした非自明なワーピング積点毎半スラン卜部分多様体の存在を確立する。ここで $M_T$ は全純であり、$M_\theta$ は適切な点毎スラン卜部分多様体である。第二基本形式のノルムの二乗について、ワーピング関数を用いた鋭い不等式を導出し、等号成立時には最小性および因子の特定の幾何的性質が得られることを示す。

ABSTRACT

It is known that there exist no warped product semi-slant submanifolds in Kaehler manifolds \cite{Sahin}. Recently, Chen and Garay studied pointwise-slant submanifolds of almost Hermitian manifolds in \cite{CG} and obtained many new results for such submanifolds. In this paper, we first introduce pointwise semi-slant submanifolds of Kaehler manifolds and then we show that there exists non-trivial warped product pointwise semi-slant submanifolds of Kaehler manifold by giving an example, contrary to the semi-slant case. We present a characterization theorem and establish an inequality for the squared norm of the second fundamental form in terms of the warping function for such warped product submanifolds in Kaehler manifolds. The equality case is also considered.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体における点毎半スラン卜部分多様体を定義・特徴づけ、CR-およびスラン卜部分多様体の一般化として位置づける。
• ケーラー多様体内に $M_T \times_f M_\theta$ の形をしたワーピング積部分多様体が存在するかを調査する。ここで $M_T$ は全純であり、$M_\theta$ は点毎スラン卜である。
• このようなワーピング積の第二基本形式のノルムの二乗について、ワーピング関数 $f$ を用いた鋭い不等式を確立する。
• 導出された不等式における等号成立の条件を特定し、部分多様体の幾何的性質を特徴づける。

提案手法

• 点毎スラン卜成分と全純成分への分布の分解を用いて点毎半スラン卜部分多様体を定義し、スラン卜角が点毎に変化することを考慮する。
• スラン卜関数 $\theta$ と $T$ および $F$ 演算子による射影を用いた、点毎スラン卜分布に適した正規直交フレームを導入する。
• ワーピング関数 $f$ を用いたワーピング積構造 $M_T \times_f M_\theta$ を適用し、リーマン接続と複素構造 $J$ を用いて第二基本形式を計算する。
• 正規直交フレーム展開と幾何的恒等式を用いて、不等式 $\|h\|^2 \geq 2n(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla(\ln f)\|^2$ を導出する。
• 等号成立のケースを分析し、$D^\theta$ 上の第二基本形式の法成分が消えることから、$M_\theta$ が全 umbilical であり、$M_T$ が全測地的であることを示す。
• 非自明なワーピング積点毎半スラン卜部分多様体の存在を示す明示的例を構成し、半スラン卜の場合の非存在性とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体内に、$M_T$ が全純で $M_\theta$ が点毎スラン卜であるような非自明なワーピング積点毎半スラン卜部分多様体 $M_T \times_f M_\theta$ が存在するか？
• RQ2 このようなワーピング積において、ワーピング関数 $f$ および第二基本形式にどのような幾何的制約が生じるか？
• RQ3 第二基本形式のノルムの二乗と $\ln f$ の勾配およびスラン卜関数 $\theta$ の間に鋭い不等式が存在するか？
• RQ4 導出された不等式における等号成立の条件は何か？ これは $M_T$ および $M_\theta$ の幾何にどのような意味を持つか？
• RQ5 点毎半スラン卜部分多様体は、ケーラー幾何におけるCR-ワーピング積および半スラン卜部分多様体をどのように一般化するか？

主な発見

• 非自明なワーピング積点毎半スラン卜部分多様体 $M_T \times_f M_\theta$ は、ケーラー多様体内に存在する。これは半スラン卜の場合の非存在性とは対照的である。
• 第二基本形式のノルムの二乗は不等式 $\|h\|^2 \geq 2n(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla(\ln f)\|^2$ を満たす。ここで $n = \dim M_\theta$ である。
• 不等式の等号成立は、$M_T$ が全測地的であり、$M_\theta$ が全 umbilical である場合に限り成立する。
• 等号成立時には、全体の部分多様体 $M = M_T \times_f M_\theta$ は埋め込まれた空間において最小である。
• 本稿で構成された例は、このようなワーピング積の存在を確認し、理論的枠組みを検証する。
• 結果はCR-ワーピング積を一般化しており、点毎半スラン卜部分多様体がケーラー多様体におけるワーピング積幾何を研究するためのより広いクラスを提供することを示している。