[論文レビュー] Wasserstein Barycenters over Riemannian manifolds

Young‐Heon Kim, Brendan Pass|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般の条件下でリーマン多様体上におけるワサーテイン重心の存在、一意性、絶対連続性を確立し、ユークリッド空間および二測度の場合の結果を、多端末および非有限測度付き分布へと拡張する。主な貢献は、非負のリッチ曲率をもつ多様体上における確率的可測集合に対して、$k$-位相凸性とワサーテイン・ゼンセンの不等式を用いて導かれる一般化されたブルン＝ミンコフスキー不等式である。

ABSTRACT

We study barycenters in the space of probability measures on a Riemannian manifold, equipped with the Wasserstein metric. Under reasonable assumptions, we establish absolute continuity of the barycenter of general measures $Ω\in P(P(M))$ on Wasserstein space, extending on one hand, results in the Euclidean case (for barycenters between finitely many measures) of Agueh and Carlier \cite{ac} to the Riemannian setting, and on the other hand, results in the Riemannian case of Cordero-Erausquin, McCann, Schmuckenschläger \cite{c-ems} for barycenters between two measures to the multi-marginal setting. Our work also extends these results to the case where $Ω$ is not finitely supported. As applications, we prove versions of Jensen's inequality on Wasserstein space and a generalized Brunn-Minkowski inequality for a random measurable set on a Riemannian manifold.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間および二測度の場合のワサーテイン重心理論を、一般のリーマン多様体上の分布へと拡張すること。
• やや弱い幾何的仮定のもとで、重心が体積測度に関して絶対連続であることを確立すること。
• 非負のリッチ曲率をもつリーマン多様体上において、新たな幾何的・関数的不等式（特に、曲がった確率的ブルン＝ミンコフスキー不等式）を導出すること。
• $k$-位相凸汎関数を用いて、リーマン多様体上のワサーテイン空間へのゼンセンの不等式の一般化を達成すること。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体 $M$ 上のボレル確率測度の空間 $P(M)$ 上の確率測度 $\Omega$ に対して、$W_2^2$-距離汎関数の最小化子として重心を形式化する。
• リーマン多様体上の最適輸送理論を適用し、最適マップの存在・一意性およびそのヤコビアン行列式を含む。
• ワサーテイン空間における微分可能性と曲率効果を分析するため、重心における一次および二次のバランス条件を用いる。
• $k$-位相凸性を用いて、エントロピー汎関数 $\rho \mapsto \int \rho \log \rho \, d{\rm vol}$ やべき乗型汎関数などの汎関数の性質を確立し、一般化されたゼンセンの不等式を導出する。
• ワサーテイン・ゼンセンの不等式と対数関数およびべき乗型汎関数の $k$-位相凸性を組み合わせることで、確率的ブルン＝ミンコフスキー不等式を導出する。
• 一般の $\Omega$ に対して、重心が体積測度に関して絶対連続であることを証明し、有限測度のケースから一般の $\Omega$ へと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体 $M$ 上の確率測度 $\Omega$ に対して、ワサーテイン重心がリーマン体積測度に関して絶対連続であるための条件は何か？
• RQ2 リーマン多様体上のワサーテイン空間における汎関数に対して、ゼンセンの不等式をどのように一般化できるか？
• RQ3 非負のリッチ曲率をもつリーマン多様体上における確率的可測集合に対して、ブルン＝ミンコフスキー不等式の形は何か？
• RQ4 $P(M)$ 上の汎関数の $k$-位相凸性が、曲がった空間における新たな幾何的不等式をどのように導くか？
• RQ5 非有限測度付き測度 $\Omega$ に対して、その重心が still 絶対連続であることを示すことができるか？

主な発見

• 任意の確率測度 $\Omega$ に対して、やや弱い仮定のもとで、リーマン多様体 $M$ 上のワサーテイン重心は体積測度に関して絶対連続である。これは、有限測度および二測度の場合の結果を拡張する。
• $k$-位相凸汎関数に対して一般化されたワサーテイン・ゼンセンの不等式が確立され、$K \geq 0$ のとき、エントロピー汎関数 $\rho \mapsto \int \rho \log \rho \, d{\rm vol}$ は $k$-位相凸である。
• ほとんど確実に $\nu(X) > 0$ である確率的可測集合 $X$ に対して、$N = \infty$ のとき、$\log \nu(Z(X)) \geq \mathbb{E}[\log \nu(X)] + \frac{k}{2}\alpha(X)$ が成り立つ。ここで $Z(X)$ は $X$ の点の重心の集合である。
• $N < \infty$ かつ $K \geq 0$ のとき、$\nu(Z(X))^{1/N} \geq \mathbb{E}[\nu(X)^{1/N}]$ が成り立つ。これは、古典的ブルン＝ミンコフスキー不等式を曲がった空間へと一般化する。
• 確率的集合 $X$ がほとんど確実に固定された有界集合 $B$ に含まれるならば、結果は完備かつ非コンパクトな多様体へと拡張可能である。
• 測度 $\Omega$ による $\omega \mapsto \mu_X$ の押し出しの重心 $\bar{\mu}$ に対して、$\text{supp}(\bar{\mu}) \subseteq Z(X)$ が成り立ち、重心の台が確率的集合の重心の集合に含まれることを保証する。