[論文レビュー] Watersheds, waterfalls, on edge or node weighted graphs

Fernand Meyer|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Data Management and Algorithms参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ノード重み付きまたはエッジ重み付きグラフにおける流域セグメンテーションを、辞書的距離と pruning 演算子を用いた統一的な代数的枠組みとして提示する。ここでは、経路の急峻さを増加させることで流域領域の曖昧さが減少することを示している。また、pruning された非上行経路と辞書的測地線との等価性を確立し、反復的な流域の精錬を用いて最小全域木を構築する waterfall ヒエラルキーを導入することで、無限の急峻さにおいて自然画像に対して一意で安定したセグメンテーションが得られることを示している。

ABSTRACT

We present an algebraic approach to the watershed adapted to edge or node weighted graphs. Starting with the flooding adjunction, we introduce the flooding graphs, for which node and edge weights may be deduced one from the other. Each node weighted or edge weighted graph may be transformed in a flooding graph, showing that there is no superiority in using one or the other, both being equivalent. We then introduce pruning operators extract subgraphs of increasing steepness. For an increasing steepness, the number of never ascending paths becomes smaller and smaller. This reduces the watershed zone, where catchment basins overlap. A last pruning operator called scissor associates to each node outside the regional minima one and only one edge. The catchment basins of this new graph do not overlap and form a watershed partition. Again, with an increasing steepness, the number of distinct watershed partitions contained in a graph becomes smaller and smaller. Ultimately, for natural image, an infinite steepness leads to a unique solution, as it is not likely that two absolutely identical non ascending paths of infinite steepness connect a node with two distinct minima. It happens that non ascending paths of a given steepness are the geodesics of lexicographic distance functions of a given depth. This permits to extract the watershed partitions as skeletons by zone of influence of the minima for such lexicographic distances. The waterfall hierarchy is obtained by a sequence of operations. The first constructs the minimum spanning forest which spans an initial watershed partition. The contraction of the trees into one node produces a reduced graph which may be submitted to the same treatment. The process is iterated until only one region remains. The union of the edges of all forests produced constitutes a minimum spanning tree of the initial graph.

研究の動機と目的

• ノード重み付きおよびエッジ重み付きグラフの両方における流域セグメンテーションの定義とアルゴリズムの統一を通じて、不整合を解消すること。
• 異なる最小値に接続する複数の非上行経路が存在することに起因する流域領域の分割の曖昧さを解消すること。
• 経路の急峻さを増加させることで、同等の流域パーティションを系統的に削減するための方法を提供すること。
• 反復的流域構築（waterfall ヒエラルキー）を通じて最小全域木の階層的分解を確立すること。
• 辞書的距離と pruning 演算子が、古典的な測地線およびコア拡張アルゴリズムと同等の結果をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 重み付きグラフにおける非上行および非下降経路を定義し、流域の盆地と流域領域を定義する。
• 深さを増加させる辞書的距離（深さ1：洪水距離、深さ2：地形距離）を定義し、経路選択を精緻化する。
• pruning 演算子 $\downarrow^{k}$ および $\zeta^{(k)}$ を適用して、徐々に急峻な経路を抽出し、流域領域への割り当ての曖昧さを低減する。
• スコッサーオペレータ $\chi$ を用いて、非最小ノードを一意の最小値に割り当て、一意の流域パーティションを保証する。
• コア拡張アルゴリズムおよび階層的キュー法を用いて、影響範囲ごとの骨格と辞書的測地線を効率的に計算する。
• 流域の森林を再帰的に収縮させ、再び流域セグメンテーションを適用することで、水を流すように繰り返し処理し、最終的に1つの領域が残るまで繰り返すことで、waterfall ヒエラルキーを構築する。これにより最小全域木が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード重み付きおよびエッジ重み付きグラフの両方において、統一的代数的枠組みを用いて流域セグメンテーションを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 経路の急峻さを増加させることで、流域領域のサイズと安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 辞書的距離は、流域パーティションの文脈において非上行経路および測地線とどのように関係するか？
• RQ4 waterfall ヒエラルキーは、最小全域木の階層的分解として解釈可能か？
• RQ5 pruning および辞書的深さは、同等の流域パーティションの数を削減するために果たす役割は何か？

主な発見

• 急峻さ $k$ を増加させることで経路を pruning することで、非上行経路の数が減少し、結果として流域領域が縮小され、盆地への割り当ての曖昧さが最小限に抑えられる。
• $\downarrow^{k}$ もしくは $\zeta^{(k)}$ による pruning 後の非上行経路の集合は、深さ $k$ の辞書的距離における測地線の集合と等価である。これにより、経路の pruning と距離測度の間の正式な関係が確立される。
• 無限の急峻さにおいて、同等の流域パーティションの数は1つに減少し、自然画像に対して一意なセグメンテーションが保証される。
• 収縮された森林に対して反復的に流域セグメンテーションを適用することで構築される waterfall ヒエラルキーは、急峻さの順序でネストされた最小全域木を生成する。
• 古典的な最小全域森林（MSF）および最小全域木（MST）は、ノード重み付きグラフへと拡張可能であり、経路の急峻さに基づいてネストされたクラスに分類可能である。
• コア拡張アルゴリズムおよび階層的キューは、特に深さ1および2において、辞書的測地線の計算に非常に効率的であることが示された。