[論文レビュー] Weak amenability of CAT(0) cubical groups

Nigel Higson, Erik Guentner|ArXiv.org|Feb 20, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限次元のCAT(0)キューブ複体上に等長的に適切に作用する任意の離散群が、Cowling-Haagerup定数1の弱アーベル的であることを証明している。著者らは、群上の組み合わせ的長さ関数 $ \ell $ を用いて、行列係数が $ z^{\ell(g)} $ の形をとる一様有界なヒルベルト空間表現の正則関数族を構成し、ヴァレットの基準により弱アーベル的であることを確立した。

ABSTRACT

We prove that if G is a discrete group that admits a metrically proper action on a finite-dimensional CAT(0) cube complex X, then G is weakly amenable. We do this by constructing uniformly bounded Hilbert space representations for which the quantities z^{l(g)} are matrix coefficients. Here l is a length function on G obtained from the combinatorial distance function on the complex X.

研究の動機と目的

• 有限次元のCAT(0)キューブ複体上に適切に作用する群の弱アーベル的性を確立すること。
• すべてのハーゲルプ性を持つ群がCowlingの予想に従い、Cowling-Haagerup定数1の弱アーベル的であるという証拠を提供すること。
• コクサター群や $SO(n,1)$ および $SU(n,1)$ の格子など、従来知られていた場合を越えて、弱アーベル的であることが知られている群のクラスを拡張すること。

提案手法

• 開単位円板 $ \mathbb{D} $ に添えられた、ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 上の一様有界な表現 $ \pi_z $ の正則関数族を構成し、$ 0 < t < 1 $ のとき $ \pi_t $ がユニタリであるようにする。
• 群 $ G $ 上の長さ関数 $ \ell(g) $ を、CAT(0)キューブ複体 $ X $ における組み合わせ的距離を用いて定義し、$ \ell(e) = 0 $ とする。
• PimsnerとValetteの方法を用いて、一様有界な表現を生成するため、$ \ell^2(X) $ 上のコサイクル構成を利用する。
• 固定されたベクトル $ \xi \in \mathcal{H} $ に対して、行列係数 $ \langle \pi_z(g)\xi, \xi \rangle = z^{\ell(g)} $ が成り立つことを示し、群の幾何学と $ \mathbb{D} $ 上の正則関数との関係を結ぶ。
• ヴァレットの定理を適用し、このような正則関数族がCowling-Haagerup定数1の弱アーベル的性に結びつくことを示す。
• 表現行列係数の成長を制御するため、$ x $ と $ y $ を分かつ超平面で、ある与えられた超平面 $ H $ と交わるものの数が $ (r+1)^d $ で有界であることを証明する。ここで $ r $ は $ x $ から $ y $ までの距離である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのCAT(0)キューブ群はCowling-Haagerup定数1の弱アーベル的であるか？
• RQ2 CAT(0)キューブ複体の幾何から、一様有界な表現の正則関数族を構成できるか？
• RQ3 行列係数が $ z^{\ell(g)} $ の形をしていることから、ヴァレットの基準により弱アーベル的であることが示せるか？
• RQ4 キューブ複体の組み合わせ的構造は、表現行列係数の成長をどのように制御するか？
• RQ5 アーベル的性質の観点から、CAT(0)キューブ群はハーゲルプ性を持つ群のより広いクラスとどの程度類似しているか？

主な発見

• 有限次元のCAT(0)キューブ複体上に等長的に適切に作用する任意の離散群 $ G $ は、Cowling-Haagerup定数1の弱アーベル的である。
• 証明は、行列係数が $ \langle \pi_z(g)\xi, \xi \rangle = z^{\ell(g)} $ となる一様有界な表現 $ \pi_z $ の正則関数族の構成に依存する。ここで $ \ell(g) $ は組み合わせ的長さ関数である。
• この構成は、$ X $ をCAT(0)キューブ複体とする $ \ell^2(X) $ 上のコサイクルを用い、PimsnerとValetteの方法を応用してなされる。
• 2つの頂点 $ x $ と $ y $ を分かつ超平面で、ある与えられた超平面 $ H $ と交わるものの数は、$ r = d(x,y) $ および複体の次元 $ d $ を用いて $ (r+1)^d $ で有界である。
• この結果は、すべてのハーゲルプ性を持つ群がCowlingの予想に従い、Cowling-Haagerup定数1の弱アーベル的であるという予想を、CAT(0)キューブ群のクラスへと拡張する支援となる。
• この定理は無限次元のCAT(0)キューブ複体には適用されず、トマスンの群 $ F $ のような、このような複体上に適切に作用する群の弱アーベル的性については未解決のまま残っている。