[論文レビュー] Weak approximations for Weiner functionals

Ohashi, Alberto|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、一般のウィener関数型に対する強固で明示的かつ数値的に実行可能な半マルティンゲール骨格を構築する、ウィーナー空間上の新規な空間フィルトレーション離散化スキームを導入する。このスキームにより、マルコフ性やマルリビン滑らかさの仮定を必要としない弱近似が可能となる。主な貢献は、分数 Browm運動などの非マルコフ的設定において、一連の離散的ジャンプフィルトレーションと Browm運動の初到達時刻を用いて、Clark–Ocone 公式および最適停止時刻の完全に実装可能なシミュレーション手法を提供することにある。

ABSTRACT

In this paper we introduce a simple space-filtration discretization scheme on Wiener space which allows us to study weak decompositions and smooth explicit approximations for a large class of Wiener functionals. We show that any Wiener functional has an underlying robust semimartingale skeleton which under mild conditions converges to it. The discretization is given in terms of discrete-jumping filtrations which allow us to approximate nonsmooth processes by means of a stochastic derivative operator on the Wiener space. As a by-product, we provide a robust semimartingale approximation for weak Dirichlet-type processes. The underlying semimartingale skeleton is intrinsically constructed in such way that all the relevant structure is amenable to a robust numerical scheme. In order to illustrate the results, we provide an easily implementable approximation scheme for the classical Clark–Ocone formula in full generality. Unlike in previous works, our methodology does not assume an underlying Markovian structure and does not require Malliavin weights. We conclude by proposing a method that enables us to compute optimal stopping times for possibly non-Markovian systems arising, for example, from the fractional Brownian motion.

研究の動機と目的

• マルコフ性やマルリビン滑らかさの仮定を必要としない、一般のウィーナー関数型の一般的で明示的かつ数値的に実行可能な近似スキームの開発。
• ウィーナー運動の初到達時刻を用いた空間およびフィルトレーションに基づく離散化により、強固な半マルティンゲール骨格の構築。
• 任意の平方可積分終端確率変数に適用可能な、完全に実装可能な Clark–Ocone 公式のシミュレーション手法の提供。
• 分数 Browm運動によって駆動される真正に非マルコフ的システムにおける最適停止問題への手法の拡張。

提案手法

• 停止時刻の列 $T_n^k = \inf\{t > T_{n-1}^k : |B_t - B_{T_{n-1}^k}| = 2^{-k}\}$ を用いた空間フィルトレーション離散化を導入し、離散時間フィルトレーション $\mathcal{G}_n^k$ を生成する。
• 近似過程 $\delta^k X_t = X_0 + \sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}[X_{T_n^k} \mid \mathcal{G}_n^k] \mathbf{1}_{\{T_n^k \leq t < T_{n+1}^k\}}$ を定義し、強固な半マルティンゲール骨格を形成する。
• 確率的比 $\frac{\mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_n^k] - \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_{n-1}^k]}{B_{T_n^k} - B_{T_{n-1}^k}}$ を用いて、Clark–Ocone 公式におけるマルリビン微分 $\mathbb{E}[D_s Y \mid \mathcal{F}_s]$ の明示的近似を実現する。
• 離散化フィルトレーション $\mathcal{G}_n^k$ 上で動的プログラミングを適用し、$\mathcal{F}$-停止時刻を計算する。最適停止時刻は、$\delta^k X$ の Snell 上界に対して後退帰納法を用いて定義される。
• 分数 Browm運動のシミュレーションに、ボルテラ表現 $A^{k,H}_t = \int_0^t K(t,s) dA^k_s$ を用いる。
• 動的プログラミング段階における条件付き期待値の近似に、i.i.d. の増分 $(T_n^k - T_{n-1}^k, \sigma_n^k)$ のモンテカルロシミュレーションを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のウィーナー関数型に対して、マルコフ性やマルリビン滑らかさの仮定を必要としない、強固で明示的かつ数値的に実行可能な半マルティンゲール近似を構築できるか？
• RQ2 マルリビン重みに依存しない方法で、任意の $L^2(\mathcal{F}_T)$-確率変数に対して Clark–Ocone 公式をシミュレーションできるか？
• RQ3 分数 Browm運動によって駆動されるような真正に非マルコフ的システムにおいて、元の構造を保つ離散化スキームを用いて最適停止時刻を計算できるか？
• RQ4 基礎となる過程が非マルコフ的で、マルコフ的かつ時空間同次な構造を持たない場合、動的プログラミングにおける条件付き期待値をどのように効率的にシミュレーションできるか？

主な発見

• 弱い条件下で、$k \to \infty$ のとき、提案された離散化スキーム $\delta^k X$ は、元のウィーナー関数型 $X$ に対して $B^2$-位相で弱収束する。
• 確率的比 $\frac{\mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_n^k] - \mathbb{E}[Y \mid \mathcal{G}_{n-1}^k]}{B_{T_n^k} - B_{T_{n-1}^k}}$ は、適切な位相でマルリビン微分 $\mathbb{E}[D_s Y \mid \mathcal{F}_s]$ に収束し、完全に実装可能な Clark–Ocone 公式の実現を可能にする。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、十分大きな $k$ に対して $(k,0)$-最適停止時刻 $\tau^{k,\star}$ が存在し、元の問題に対して $\varepsilon$-最適である。
• 動的プログラミングに基づく $\delta^k X$ とフィルトレーション $\mathcal{G}_n^k$ を用いることで、分数 Browm運動のような非マルコフ的システムにおける価値関数および最適停止時刻のシミュレーションが可能である。
• 本手法は強固であり、密度の仮定や高度なマルリビン微積分を必要とせず、広範な非滑らかで非マルコフ的関数型に適用可能である。
• 動的プログラミング段階における条件付き期待値の数値的近似は、i.i.d. 増分 $(T_n^k - T_{n-1}^k, \sigma_n^k)$ のモンテカルロシミュレーションおよび分数 Browm運動のボルテラ表現を用いることで実現可能である。