[논문 리뷰] Weak calculus of variations for functionals of laws of semi-martingales

Ana Bela Cruzeiro, Rémi Lassalle|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속 반마르팅글의 법칙에 대한 함수적에 대한 비예측적 변분법을 개발하며, 해밀턴의 최소 작용 원리와 노이터의 정리가 확률적 환경으로 확장된다. 이는 약간의 정규성 조건 하에 반마르팅글 최적 운반 문제에서 임계점에 대한 관측치를 규명하는 스토하스틱 오일러-라그랑주 조건을 수립한다.

ABSTRACT

We develop a non-anticipating calculus of variations for functionals on a space of laws of continuous semi-martingales, which extends the classical one. We extend Hamilton's least action principle and Noether's theorem to this generalized stochastic framework. As an application we obtain, under mild conditions, a stochastic Euler-Lagrange condition and invariants for the critical points of recent problems in stochastic control, namely for the semi-martingale optimal transportation problems.

연구 동기 및 목표

• 연속 반마르팅글의 법칙에 정의된 함수적에 대한 약한 변분법을 수립함으로써 고전적 변분법을 확장한다.
• 비예측적 변분법을 통해 비예측적 프레임워크에서 비례적 작용 기능의 임계점이 해를 이루는 방식으로 해밀턴의 최소 작용 원리를 스토하스틱 프레임워크로 일반화한다.
• 라그랑주 함수의 대칭성과 보존 법칙 간의 연결을 통해 노이터 정리를 스토하스틱 역학으로 일반화하며, 마르팅글 형태의 보존 법칙을 규명한다.
• 이 프레임워크를 반마르팅글 최적 운반 문제에 적용하여, 약간의 조건 하에 임계 과정과 관측치를 규명한다.
• 스토하스틱 제어에 포함된 상대 엔트로피 및 연합 마진 조건을 갖는 변분 문제의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.

제안 방법

• 절대 연속적인 이차 변동성을 갖는 연속 반마르팅글의 법칙의 공간 $\mathbb{S}$ 를 도입하며, 이는 드리프트 $v_t^\nu$ 와 볼atility $\alpha_t^\nu$ 로 매개변수화된다.
• 스토하스틱 오일러-라그랑주 조건을 $\partial_v \mathcal{L}_t(W_t, v_t^\nu, \alpha_t^\nu) - \int_0^t \partial_x \mathcal{L}_s(W_s, v_s^\nu, \alpha_s^\nu) ds = N_t^\nu$ 로 정의하며, 여기서 $N^\nu$ 는 $\mathcal{F}_t^\nu$-마르팅글이다.
• 해밀턴 원리를 확장하기 위해 스토하스틱 작용 기능 $\mathcal{S}(\nu) = \mathbb{E}_\nu[\int_0^1 \mathcal{L}_s(W_s, v_s^\nu, \alpha_s^\nu) ds]$ 를 정의하며, 비예측적 변분을 통한 임계성 정의를 사용한다.
• 지르산프 정리와 클락-오콘 공식을 적용하여 위너 측도와 동치인 측도를 특성화함으로써, 변분 문제의 해를 구성할 수 있다.
• 상대 엔트로피 $\mathcal{H}(\nu|\mu_{\nu_0}) = \mathbb{E}_\nu[\ln \frac{d\nu}{d\mu_{\nu_0}}]$ 를 사용하여 최소화 문제를 재구성하고, 컴actness와 강한 볼록성에 의해 최소화자 존재성을 증명한다.
• 파인먼-카크 공식과 이토의 보조정리를 적용하여, 나비에-스토크스 방정식을 만족하는 드리프트에 의해 구동되는 SDE의 해가 해 클래스 $G_V(\mathbb{R}^d)$ 에 속한다는 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 변분법은 어떻게 반마르팅글의 법칙에 정의된 함수적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비예측적 스토하스틱 프레임워크에서 임계점을 특성화하는 스토하스틱 오일러-라그랑주 방정식의 해석은 무엇인가?
• RQ3 노이터 정리는 스토하스틱 라그랑주 함수로 일반화될 수 있으며, 관련 보존 법칙은 어떤 형태를 띄는가?
• RQ4 반마르팅글 최적 운반 문제에서 상대 엔트로피를 포함한 변분 문제의 최소화자가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 스토하스틱 제어 문제의 해는 스토하스틱 오일러-라그랑주 방정식과 라그랑주 함수의 대칭성에 대한 불변성으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 스토하스틱 오일러-라그랑주 조건은 고전적 조건을 일반화한다: $\nu = \delta_{q}$ 인 경우 $C^2$ 경로 $q$ 에 대해 조건은 고전적 오일러-라그랑주 방정식으로 축소된다.
• 스토하스틱 작용 기능 $\mathcal{S}(\nu)$ 의 임계점은 마르팅글 항 $N_t^\nu$ 를 포함하는 스토하스틱 오일러-라그랑주 조건으로 특성화된다.
• 라그랑주 함수 $\mathcal{L}^0 = \frac{|v|^2}{2}$ 에 대해, 고정된 초기 및 종료 법칙 하에서 상대 엔트로피 $\mathcal{H}(\nu|\mu_{\nu_0})$ 의 최소화자는 유일하며 $\mathbb{S}_B \cap \mathbb{S}_\gamma$ 에 속한다.
• 엔트로피 최소화 문제의 해 $\nu^\star$ 는 $\mathcal{H}(\nu^\star|\mu_{\nu_0}) = \mathbb{E}_\nu[\int_0^1 \frac{|v_s^\nu|^2}{2} ds]$ 를 만족하며, 이는 스토하스틱 제어와 에너지 최소화를 연결한다.
• 표준 브라운 운동 라그랑주 함수에 대해서도 동일한 $W_0$ 와 $W_1$ 의 연합 법칙을 갖는 $G_0(\mathbb{R})$ 내에 여러 측도가 존재하며, 이는 유일성의 결여를 보여준다.
• 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 해는 $u$ 를 생성하며, 이에 따라 지르산프 변환된 측도 $\nu$ 는 잠재력 $V = p(1-t,x)$ 와 함께 스토하스틱 오일러-라그랑주 조건을 만족한다.