[논문 리뷰] Weak Functional Itô Calculus and Applications

Alberto Ohashi, Dorival Leão외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 51인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다차원 브라운 운동 필터링에서 적응 과정에 대한 약한 기능적 이토 미적분을 개발하며, 마코프 성질을 제어된 마팅게일 점프를 통한 유한차원 근사로 대체한다. 이는 위너 함수에 대한 기본 미적분 규칙을 수립하고, 영(stochastic) 미분을 비마코프의 두 번째 순서 연산자로 식별하며, 비세미마르팅게일 최적 정지 문제에 대한 변분 원리와 동적 프로그래밍을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a variational theory for processes adapted to the multi-dimensional Brownian motion filtration. The theory provides a differential structure which describes the infinitesimal evolution of Wiener functionals at very small scales. The Markov property is replaced by a finite-dimensional approximation procedure based on controlled inter-arrival times and jumps of approximating martingales. The theory reveals that a large class of adapted processes follow a differential rule which is similar in nature to a fundamental theorem of calculus in the context of Wiener functionals. Null stochastic derivative term turns out to be a non-Markovian version of the classical second order parabolic operator and connections with theory of local-times and $(p,q)$-variation regularity are established. The framework extends the pathwise functional calculus and it opens the way to obtain variational principles for processes. Applications to semi-linear variational equations and stochastic variational inequalities are presented. In particular, we provide a feasible dynamic programming principle for fully non-Markovian/non-semimartingale optimal stopping problems.

연구 동기 및 목표

• 다차원 브라운 운동 필터링에서 적응 과정을 위한 변분 미적분을 개발하는 것.
• 마코프 성질을 제어된 도착 간격과 마팅게일 점프를 사용한 유한차원 근사를 통해 대체하는 것.
• 작은 척도에서 위너 함수에 대한 미분 구조를 수립하고, 기본 정리의 미적분과 유사한 구조를 확립하는 것.
• 영(stochastic) 미분을 고전적 두 번째 순서 포물형 연산자의 비마코프적 해석으로 식별하는 것.
• 경로 기반 기능적 미적분을 확장하고, 확률 과정에 대한 변분 원리를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 제어된 도착 간격을 사용한 필터링의 유한차원 근사를 통해 적응 과정에 대한 미분 구조를 체계화하는 것.
• 위너 함수의 무한소 진화를 모델링하기 위해 점프를 가진 근사 마팅게일을 활용하는 것.
• 경로 기반 접근을 일반화하고 비세미마르팅게일 과정을 수용하는 약한 기능적 이토 미적분을 정의하는 것.
• 비마코프의 두 번째 순서 연산자에 해당하는 영(stochastic) 미분 항을 도입하는 것.
• 이 미적분과 국소 시간, (p,q)-변형 정규성 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 이 프레임워크를 적용하여 준선형 방정식과 확률적 변분 부등식에 대한 변분 원리를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마코프적 위너 함수에 대해 기본 정리의 미적분을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 비마코프적 환경에서 영(stochastic) 미분의 역할은 무엇이며, 고전적 두 번째 순서 연산자와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 세미마르팅게일이 아닌 과정에 대해 변분 원리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 완전히 비마코프적 최적 정지 문제에 대해 동적 프로그래밍을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ5 제안된 미적분과 국소 시간 또는 (p,q)-변형 정규성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 약한 기능적 이토 미적분은 비마코프적 맥락에서 고전 이토 공식을 일반화한 위너 함수에 대한 미분 규칙을 제공한다.
• 영(stochastic) 미분 항은 고전적 두 번째 순서 포물형 연산자의 비마코프적 해석에 해당한다.
• 이 프레임워크는 준선형 확률 방정식에 대한 변분 원리를 도출하는 데 가능하게 한다.
• 확률적 변분 부등식이 이 미적분 프레임워크 내에서 분석 가능하다는 것이 입증되었다.
• 완전히 비마코프적이고 비세미마르팅게일 최적 정지 문제에 대해 실현 가능한 동적 프로그래밍 원칙이 수립되었다.
• 국소 시간 및 (p,q)-변형 정규성과의 연결 고리가 공식적으로 설정되었으며, 이는 미적분의 분석적 구조를 풍부하게 한다.