[論文レビュー] Weak Convergence (IIA) - Functional and Random Aspects of the Univariate Extreme Value Theory

Gane Samb Lô, Modou Ngom+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本書は、弱収束の枠組みにおいて単変量極値理論を包括的に扱うものであり、関数的および確率的側面に焦点を当てる。正則変動および$\pi$-変動理論を用いて基礎的結果を確立し、同分布独立な系列の最大値の収束型を導出するとともに、一般化極値分布および統計的推定に関する新規貢献を提示し、実数直線上の極値理論における大学院レベルの学習に統一的かつほぼ完全なコースを提供する。

ABSTRACT

The univariate extreme value theory deals with the convergence in type of powers of elements of sequences of cumulative distribution functions on the real line when the power index gets infinite. In terms of convergence of random variables, this amounts to the the weak convergence, in the sense of probability measures weak convergence, of the partial maximas of a sequence of independent and identically distributed random variables. In this monograph, this theory is comprehensively studied in the broad frame of weak convergence of random vectors as exposed in Lo et al.(2016). It has two main parts. The first is devoted to its nice mathematical foundation. Most of the materials of this part is taken from the most essential Loève(1936,177) and Haan (1970), based on the stunning theory of regular, pi or gamma variation. To prepare the statistical applications, a number contributions I made in my PhD and my Doctorate of Sciences are added in the last chapter of the last chapter of that part. Our real concern is to put these materials together with others, among them those of the authors from his PhD dissertations and Science doctorate thesis, in a way to have an almost full coverage of the theory on the real line that may serve as a master course of one semester in our universities. As well, it will help the second part of the monograph. This second part will deal with statistical estimations problems related to extreme values. It addresses various estimation questions and should be considered as the beginning of a survey study to be updated progressively. Research questions are tackled therein. Many results of the author, either unpublished or not sufficiently known, are stated and/or updated therein.

研究の動機と目的

• 弱収束および関数解析を用いて、単変量極値理論に厳密な数学的基盤を構築すること。
• Loève (1936) および Haan (1970) が提示した正則変動および$\pi$-変動に関する主要な結果を統合・拡張すること。
• 極値解析における統計的推定問題の理論的基盤を整えること。
• 著者の博士論文および科学博士論文におけるオリジナルな貢献を統合し、一貫性があり、教育用に適したテキストとして構成すること。
• 統計的推定に関する極値理論の段階的サーベイを開始し、軽視されがちなあるいは未公表の結果を含めること。

提案手法

• Lo ら (2016) が形式化した確率ベクトルの弱収束理論を応用し、部分最大値の収束をモデル化する。
• 正則変動および$\pi$-変動（またはガンマ-変動）を用いて、正規化された最大値の極限分布を特徴付ける。
• 可測関数に対する関数方程式（特にハメル型方程式）を用い、線形性およびべき則的挙動を導出する。
• 一般化極値（GEV）分布を、同分布独立な系列の正規化された最大値の普遍的極限として用いる。
• 関数 $ h(st) = h(s)h(t) $ や $ h(st) = h(s) + h(t) $ を満たす関数の特徴付けにより、収束型の収束を導出する。これによりべき関数が得られる。
• 弱収束の証明において特性関数を制御するため、三角不等式 $ |e^{ia} - 1| \leq 2|a/2|^\delta $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同分布独立な系列の正規化された部分最大値が、3つの非退化極値分布のいずれかに弱収束するための条件は何か？
• RQ2 正則変動および$\pi$-変動は、極値理論における分布関数の極限挙動をどのように特徴付けるか？
• RQ3 べき変換の下で収束型を保つ関数の構造を支配する関数方程式は何か？
• RQ4 理論的枠組みをどのように拡張することで、極値解析における統計的推定問題に対応できるか？
• RQ5 著者の博士研究から得られた、新規あるいは軽視されがちな理論的結果を、極値理論の統一的コースに体系的に統合できるか？

主な発見

• 一般化極値（GEV）分布は、弱収束の下で、同分布独立な系列の正規化された最大値の普遍的極限として現れる。
• 関数 $ h(st) = h(s)h(t) $ を満たし、可測である場合、$ h(t) = t^{\log k(e)} $ が成り立ち、極値極限に不可欠なべき則的挙動が保証される。
• 関数 $ \ell(st) = \ell(s) + \ell(t) $ を満たす可測関数については、解が $ \ell(t) = \ell(e) \log t $ であることが示され、乗法的構造と加法的構造が結びつく。
• 単調性および局所有界性の下でハメル方程式の証明により、$ h(x) = h(1)x $ が得られ、弱い条件下でも線形性が確認される。
• 区間 $ \delta \in (0,1] $ に対して、$ |e^{ia} - 1| \leq 2|a/2|^\delta $ が確立され、弱収束の議論における特性関数の制御に用いられる。
• 無限大のべき指数の下での分布関数の収束型は、対応する最大値の分布における弱収束と同値である。