[논문 리뷰] Weak convergence rates for temporal numerical approximations of stochastic wave equations with multiplicative noise

Sonja Cox, Arnulf Jentzen외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 49인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 곱셈형 소음이 있는 스토하스틱 웨이브 방정식의 시간적 수치 근사에 대해 최적의 약한 수렴 속도를 확립한다. 특히 초월형 앤더슨 모형을 다룬다. 새로운 오차 분할 기법과 미약 이토 공식을 활용하여, 저자들은 약한 수렴 속도가 기존의 강한 수렴 속도의 두 배임을 증명한다 — 이는 문헌상에서 이러한 방정식에 대해 처음으로 본질적으로 정밀한 약한 수렴 속도를 제공한다.

ABSTRACT

In this work we establish weak convergence rates for temporal discretisations of stochastic wave equations with multiplicative noise, in particular, for the hyperbolic Anderson model. For this class of stochastic partial differential equations the weak convergence rates we obtain are indeed twice the known strong rates. To the best of our knowledge, our findings are the first in the scientific literature which provide essentially sharp weak convergence rates for temporal discretisations of stochastic wave equations with multiplicative noise. Key ideas of our proof are a sophisticated splitting of the error and applications of the recently introduced mild Itô formula. We complement our analytical findings by means of numerical simulations in Python for the decay of the weak approximation error for SPDEs for four different test functions.

연구 동기 및 목표

• 곱셈형 소음이 있는 스토하스틱 웨이브 방정식의 시간적 수치 근사에 대해 최적의 약한 수렴 속도를 확립한다.
• 곱셈형 소음이 있는 타원형 SPDE에서 약한 수렴 속도를 증명하기 위한 표준 기법의 부족 문제를 다룬다.
• 기존의 강한 수렴 결과를 약한 수렴으로 확장하여, 그 속도가 강한 수렴 속도의 두 배임을 증명한다.
• 반드시 반세미군 효과가 없는 초월형 SPDE에 적용 가능한 새로운 분석 프레임워크를 개발한다.
• 초월형 앤더슨 모형에 대해 처음으로 엄밀하고 본질적으로 정밀한 약한 수렴 속도를 제공한다.

제안 방법

• 약한 근사 오차를 다룰 수 있는 구성요소들로 분해하기 위해 정교한 오차 분할 전략을 사용한다.
• 최근에 도입된 미약 이토 공식을 활용하여 방정식 내 비선형성과 곱셈형 소음의 구조를 다룬다.
• 인터폴레이션 공간과 힐베르트 공간 내의 정규성 추정을 이용해 수치 근사에 대한 사전 경계를 유도한다.
• 무한차원 힐베르트 공간 내 콜모고로프 방정식을 활용하여 약한 오차를 특성화한다.
• 분수계 소볼레프 공간 내에서 소음 및 드리프트 항의 연산자 노름을 정밀하게 추정한다.
• 시험 함수의 도함수와 소음 연산자의 성장률을 제어함으로써 약한 오차에 대한 균일한 경계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곱셈형 소음이 있는 스토하스틱 웨이브 방정식의 시간 이산화에 대해 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 초월형 설정에서 곱셈형 소음이 존재할 경우, 약한 수렴 속도가 정확히 강한 수렴 속도의 두 배임을 증명할 수 있는가?
• RQ3 반세미군 효과가 없는 초월형 SPDE에서 약한 수렴을 분석하기 위해 미약 이토 공식을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 어떤 새로운 오차 분해 전략이 이 맥락에서 정밀한 약한 수렴 분석을 가능하게 하는가?
• RQ5 초월형 앤더슨 모형에 대해 본질적으로 정밀한 약한 수렴 속도를 확립하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 곱셈형 소음이 있는 스토하스틱 웨이브 방정식의 시간 이산화에 대해 약한 수렴 속도가 기존의 강한 수렴 속도의 두 배임을 증명하였다.
• 초월형 앤더슨 모형은 약한 수렴 속도가 1차 수준에 도달하여, 약한 수렴 속도가 강한 수렴 속도의 두 배임을 이론적으로 예측한 바와 일치한다.
• 이 분석은 곱셈형 소음이 있는 초월형 SPDE에서 시간적 방법에 대해 처음으로 본질적으로 정밀한 약한 수렴 속도를 확립한다.
• 초기 자료와 시험 함수가 충분히 정규화되어 있을 경우, 이 방법은 안정적으로 유지된다. φ ∈ C⁴(H₀, ℝ).
• 증명은 소음 연산자 B가 분수계 힐베르트 공간 내에서 필요한 정규성 및 유계 조건을 만족함을 확인하여 수렴을 보장한다.
• 결과는 L²((0,1); ℝ)에서 정의된 원통형 유클리드 과정에 의해 유도되는 일반적인 곱셈형 소음의 구조 클래스에 대해 유효하다.