[論文レビュー] Weak Convergence to Brownian Motion on Sub-Riemannian Manifolds

Maria Gordina, Thomas Laetsch|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンフローに 沿った2階微分の平均を用いて構築されたサブラプラシアンを用いて、部分リーマン多様体上の幾何学的に自然な確率的移動が水平ブラウン運動に弱収束することを確立している。主な貢献は、任意の体積測度に依存しない、標準的なサブラプラシアンの定義であり、ハイゼンベルク群上での検証においてホルマンダーの二乗和作用素と一致する。

ABSTRACT

This paper considers a classical question of approximation of Brownian motion by a random walk in the setting of a sub-Riemannian manifold $M$. To construct such a random walk we first address several issues related to the degeneracy of such a manifold. In particular, we define a family of sub-Laplacian operators naturally connected to the geometry of the underlining manifold. In the case when $M$ is a Riemannian (non-degenerate) manifold, we recover the Laplace-Beltrami operator. We then construct the corresponding random walk, and under standard assumptions on the sub-Laplacian and $M$ we show that this random walk weakly converges to a process, horizontal Brownian motion, whose infinitesimal generator is the sub-Laplacian. An example of the Heisenberg group equipped with a standard sub-Riemannian metric is considered in detail, in which case the sub-Laplacian we introduced is shown to be the sum of squares (Hörmander's) operator.

研究の動機と目的

• 部分リーマン多様体上に、拡散過程に弱収束する幾何学的に自然な確率的移動を構築すること。
• ハミルトニアンフローの平均を用いて、任意の体積測度に依存しない標準的なサブラプラシアン作用素を定義すること。
• 部分リーマン幾何における接空間と余接空間の双対性の欠如を、余接 bundle 内で移動を構築することによって解決すること。
• 生成作用素がサブラプラシアンである水平ブラウン運動への収束を確立すること、特にハイゼンベルク群の設定において。
• ポップ測度やハウスドルフ測度などの事前仮定のない確率的基盤を部分リーマン拡散に提供すること。

提案手法

• 部分リーマン幾何における接空間と余接空間の双対性の欠如を克服するため、余接 bundle 内で区分的ハミルトニアンフローによる確率的移動を構築する。
• 水平分布に沿ったハミルトニアンベクトル場に沿った2階方向微分の平均としてサブラプラシアンを定義する。
• 適切なリーマン計量を余接 bundle に導入し、方向の単位球面を定義することで、移動の適切な定義を保証する。
• リゾルベント収束を用いて弱収束を確立する：確率的移動のリゾルベントがサブラプラシアン生成作用素のリゾルベントに収束することを示す。
• サブラプラシアンが垂直バンドルにのみ依存し、適切な計量の選択に依存しないことを利用して、幾何学的不変性を保証する。
• 水平分布内の単位球面上でのHit時間と条件付き期待値を用いたリニューアル型の議論により収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分リーマン多様体上に、拡散過程に弱収束する確率的移動を構築することは可能か？
• RQ2 任意の体積測度の選択に依存しない、部分リーマン幾何における標準的なサブラプラシアンは存在するか？
• RQ3 部分リーマン幾何における接空間と余接空間の双対性の欠如は、確率過程の構築においてどのように扱えるか？
• RQ4 部分リーマン設定における極限過程の無限小生成作用素は何か？また、ホルマンダーの二乗和作用素のような既知の作用素とどのように関係するか？
• RQ5 ハミルトニアンフローの平均化によって定義されたサブラプラシアンは、標準的な部分リーマン計量を備えたハイゼンベルク群上での正しい水平ブラウン運動を生成するか？

主な発見

• 構築された確率的移動は、ハミルトニアンフローに沿った2階微分の平均によって定義されるサブラプラシアンを生成作用素とする過程に弱収束する。
• サブラプラシアンは、適切なリーマン計量の選択に依存せず、水平分布とその内積にのみ依存する。
• 標準的な部分リーマン計量を備えたハイゼンベルク群上では、サブラプラシアンはホルマンダーの二乗和作用素と一致する。
• 収束はリゾルベント収束を用いて確立され、確率的移動のリゾルベントがサブラプラシアン生成作用素のリゾルベントに収束する。
• 本手法はポップ測度や他の標準的測度に依存しないため、部分リーマン幾何に内在する性質を持つ。
• 水平分布内の単位球面上での平均化により、ノルムの2乗に比例する2次形式が得られ、比例定数は分布のランク m に対して 1/m である。