[論文レビュー] Weak enriched categories - Categories enrichies faibles

Régis Pellissier|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2003

Linguistics and Discourse Analysis被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、離散的対象を持つ圏 C 上の弱に豊かにされた圏の閉じたモデル構造を、細胞追加計画に対するクィルレン風の小さな対象の技法を用いて確立する。これは、基本群投射と位相的セガール群の幾何的実現の間の随伴を介して、セガール圏を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

This thesis is devoted to the proof of a theorem showing the existence of a closed model category structure for weakly enriched categories. It requires first of all the definitions of weakly enriched categories and equivalences of weakly enriched categories such that these definitions recover some existing notions of higher order weak categories, for example Segal categories, Tamsamani n-categories and strict n-categories. In order to prove our theorem, we elaborate a theory of plans for cell addition following the approach of the small object argument a la Quillen. We conclude this work with the proof that our theorem recovers the case of Segal categories. This last result requires a fundamental groupoid-geometric realization adjunction between Segal groupoids and topological spaces.

研究の動機と目的

• セガール圏やタムサマニ n-圏、厳密 n-圏を一般化する高階の弱い圏を一般化する弱に豊かにされた圏および弱同値の定義。
• コフibrント補完を構成するためのクィルレンの小さな対象の技法に類似した細胞追加計画の理論の構築。
• C-前圏（Δ^op → C の関手）のカテゴリに閉じたモデル構造を確立し、分類化によって誘導される弱同値を用いる。
• 得られるモデル構造が、基本群投射と幾何的実現の間の随伴を介して、既知のセガール圏上の閉じたモデル構造を回復することを示す。
• C 内の離散的対象を用いて、高階の弱い圏の既存の枠組みを一つの豊かにされた圏的枠組みに統一すること。

提案手法

• C-前圏を、離散的対象の概念を持つ圏 C からの関手 Δ^op → C として定義する。
• C-圏を、面写像 A_m → A_1 ×_{A_0} ... ×_{A_0} A_1 が C 内の弱同値を満たすセガール条件を満たす C-前圏として定義する。
• 細胞追加計画を用いた小さな対象の技法を構築し、C-前圏のカテゴリにおいてコフibrント補完を生成する。
• 分類化を介して C-圏の弱同値を定義し、本質的全射性と完全忠実性を要件とする。
• セガール群の圏と位相的空間との間で、基本群投射と幾何的実現の随伴を確立し、セガールの場合を回復する。
• マーク付きの準同型および I-コフibrations を用いて、C-前圏のモデル構造におけるファイブレーションおよび弱同値を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セガール圏、タムサマニ n-圏、および厳密 n-圏を一般化する方法として、弱に豊かにされた圏をどのように定義できるか？
• RQ2 C-前圏のwell-behavedなカテゴリを定義するために、圏 C に必要な条件（例：離散的対象の存在）は何か？
• RQ3 C-前圏上で閉じたモデル構造を構築可能か？その場合、弱同値が分類化後に関連する C-圏の同値に対応するか？
• RQ4 C-前圏上のモデル構造は、セガール圏上の既知の閉じたモデル構造を回復するか？
• RQ5 小さな対象の技法は、C-前圏のコフibrント補完を構築する上で果たす役割は何か？クィルレンの方法をどのように一般化するか？

主な発見

• C-前圏のカテゴリには、分類化後に C-圏の同値になる morphism として弱同値が誘導される閉じたモデル構造が存在する。
• モデル構造は、細胞追加計画に適応したクィルレン風の小さな対象の技法を用いて構築され、関手的分解の存在を保証する。
• C が位相空間の圏である場合、この構成はセガール圏上の既知の閉じたモデル構造を特別な場合として回復する。
• セガール群の圏と位相空間との間で、基本群投射と幾何的実現の随伴が確立され、セガールの場合を回復するために不可欠である。
• C-圏の定義をセガール条件および C 内の弱同値を用いることで、タムサマニの n-圏を含む既存の高階の弱い圏の概念が一般化される。
• C 内の離散的対象の使用により、C-圏の対象集合 A₀ が集合となることが保証され、これは分類化プロセスが適切に定義されるために不可欠である。