[論文レビュー] Weak Input to state estimates for 2D damped wave equations with localized and non-linear damping

Meryem Kafnemer, Benmiloud Mebkhout+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所的非線形減衰および外部摂動を伴う2次元減衰波動方程式に対して、弱い入力状態安定性（ISS）推定を確立する。乗数法とGagliardo-Nirenberg不等式を用いて、系のエネルギーが初期エネルギーと摂動の関数によって有界であることを証明し、非線形的かつ局所的な減衰下でも摂動が存在する場合の安定性を保証する。

ABSTRACT

In this paper, we study input-to-state (ISS) issues for damped wave equations with Dirichlet boundary conditions on a bounded domain of dimension two. The damping term is assumed to be non-linear and localized to an open subset of the domain. In a first step, we handle the undisturbed case as an extension of a previous work, where stability results are given with a damping term active on the full domain. Then, we address the case with disturbances and provide input-to-state types of results.

研究の動機と目的

• 全領域線形減衰を伴う減衰波動方程式の既存の安定性結果を、局所的非線形減衰および摂動が存在する場合に拡張すること。
• 系のエネルギーに対する入力状態安定性（ISS）型推定を確立し、外部摂動下でも軌道の有界性を示すこと。
• 非線形減衰下での指数的安定性に関する先行結果を、2次元空間において摂動が存在する場合に一般化すること。
• 標準的な関数解析的手法のみを用いて、初期条件および摂動ノルムの観点から系のエネルギーに対する定量的有界性を提供すること。
• 微局所的手法が適用できない状況（特に $ g'(0) > 0 $ の場合）における非線形減衰の課題に、乗数法を用いて対処すること。

提案手法

• 局所的非線形減衰を伴う減衰波動方程式に対して、乗数法を用いてエネルギー推定を導出する。
• Gagliardo-Nirenberg補間不等式を用いて、速度 $ u_t $ の $ L^p $ ノルムをエネルギーおよび高階ソボレフノルムの観点から制御する。
• 一般化されたグローヴァルの補題（定理A.2）を適用し、減衰および摂動項からの減衰項を組み込んだ時間にわたるエネルギー増大の上限を求める。
• 区間 $[S, T]$ における時間平均エネルギー推定を導入し、減衰領域 $ \omega $ における $ u_t $ の $ L^2 $ ノルムを吸収するため、パラメータ $ \eta_0 $ を用いて項をバランスさせる。
• 鍵となる不等式（39）を用いて、エネルギー減衰の均一な有界性を導出し、複数のエネルギー項からの推定を組み合わせ、$ \eta_0 $ の選択により支配的となる $ \int_S^T E(t) dt $ 項を吸収する。
• 定理A.1（グローヴァル積分補題）を適用し、積分形エネルギー有界性を、摂動依存のオフセットを伴う明示的な指数的減衰推定に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的非線形減衰および外部摂動が存在する2次元減衰波動方程式に対して、入力状態安定性を確立できるか？
• RQ2 減衰が非線形的かつ $ \omega \subset \Omega $ の部分集合でのみ作用する場合、および摂動 $ d, e $ が存在する場合、系のエネルギーはどのように振る舞うか？
• RQ3 エネルギー有界性が初期エネルギーおよび摂動 $ d $ と $ e $ の $ L^2 $ ノルムにどのように依存するか？
• RQ4 微局所的手法が不適切な状況（特に $ g'(0) > 0 $ の場合）において、乗数法が鋭いISS型推定を導けるか？
• RQ5 Gagliardo-Nirenberg不等式は、エネルギー推定における非線形項の制御にどのような役割を果たすか？

主な発見

• エネルギー $ E(t) $ は次のISS型推定を満たす：$ E(t) \leq C e^{-t/T} E(0) + C_{d,e} $、ここで $ C_{d,e} $ は摂動 $ d $ と $ e $ の $ L^2 $ ノルムに依存する。
• エネルギーの有界性は時間に一様であり、初期エネルギー $ E(0) $ および摂動ノルムに明示的に依存しており、持続的な摂動下でも有界性が保証される。
• 項 $ \frac{1}{\eta_0} \int_S^T \int_\omega u_t^2 \, dx \, dt $ は、乗数法およびGagliardo-Nirenberg不等式の再帰的適用により推定され、減衰領域の寄与が制御される。
• $ C \eta_0 < 1 $ となる $ \eta_0 $ の選択により、支配的エネルギー積分項が左辺に吸収され、最終的なエネルギー減衰推定が可能になる。
• 2次元における非線形減衰下での指数的安定性に関する先行研究を、$ g $ が無限遠で線形でない場合を含め、摂動が存在する場合に一般化した結果が得られた。
• 微局所解析を避けて、乗数法および関数不等式のみに依存する証明であり、より広範な非線形性のクラスに対しても適用可能である。