[논문 리뷰] Weak Integer Additive Set-Indexers of Certain Graph Operations

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 23.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특정 그래프 연산—합집합, 결합, 코로나, 여집합—이 약한 정수加산 집합색인자(약한 IASIs)를 허용하는 조건을 조사한다. 여기서 간선 레이블은 정점 레이블의 합집합이며, 간선 집합색인 번호는 양 끝 정점의 집합색인 번호의 최댓값과 같다. 주요 기여는 사이클 또는 정규 그래프의 여집합이 약한 IASI를 갖는 조건을 특징화하는 것으로, 이러한 그래프에서 단색색인 간선의 최소 수에 대한 정확한 경계를 제시한다.

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sum set of $f(u)$ and $f(v)$ and $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers. If $g_f(uv)=k \forall uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexers. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|) \forall uv\in E(G)$. A weak integer additive set-indexer $f$ is called a weakly $k$-uniform integer additive set-indexer if $g_f(e)=k \forall e\in E(G)$. We have some characteristics of the graphs which admit weak and weakly uniform integer additive set-indexers. In this paper, we study the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and finite graph operations.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 그래프 연산이 약한 정수加산 집합색인자(약한 IASIs)를 허용하는 조건을 규명하는 것.
• 합집합, 결합, 코로나, 여집합과 같은 그래프 연산에서 스파링 수(최소 단색색인 간선 수)를 특징짓는 것.
• 특히 자가여집합인 경우를 포함해 사이클 또는 정규 그래프의 여집합이 약한 IASI를 갖는 조건을 조사하는 것.
• 다양한 그래프 클래스와 연산에서 약한 IASI 허용의 필요 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 기존의 약한 IASIs 결과를 새로운 그래프 구조로 확장하고, 단색색인 간선 수에 대한 정량적 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 약한 IASI를 정점 레이블링 $ f: V(G) \to 2^{\mathbb{N}_0} $ 이며, 유일성 조건을 만족하는 함수로 정의한다. 이때 유도된 간선 레이블링 $ g_f(uv) = f(u) + f(v) $ 는 $ |g_f(uv)| = \max(|f(u)|, |f(v)|) $ 를 만족한다.
• 스파링 수 $ \varphi(G) $ 를 사용한다. 이는 약한 IASI를 위해 필요한 최소 단색색인 간선 수를 의미한다.
• 기존 결과를 적용한다: 그래프가 약한 IASI를 갖는 것은 이분 그래프이거나 최소한 하나의 단색색인 간선을 가져야 하며, 홀수 사이클은 최소한 하나의 단색색인 간선이 필요하다.
• 구성 요소 그래프의 정점 레이블링을 조합하여 그래프 연산을 분석하고, 교차 부분에서의 일致성과 간선 레이블의 유일성을 확보한다.
• 여집합에서 단색색인 간선 수에 대한 경계를 유도하기 위해 공식 $ \varphi(\bar{G}) \geq \frac{1}{2}[(n-1)(n-2) - 2r] $ 를 사용한다. 여기서 $ r $-정규 그래프에 대해 적용한다.
• 자가여집합성과 차수 제약 조건을 이용하여 최소 단색색인 간선 수를 유도하며, 예를 들어 $ r $-정규 자가여집합 그래프의 경우 $ \frac{1}{2}r(2r-1) $ 를 산출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 약한 IASI 그래프의 합집합이 약한 IASI를 갖는 조건은 무엇이며, 그 스파링 수는 어떻게 결정되는가?
• RQ2 두 약한 IASI 그래프의 결합이 약한 IASI를 갖는 조건은 무엇이며, 그 결과 스파링 수는 얼마인가?
• RQ3 사이클 $ C_n $ 과 $ \bar{C}_n $ 이 모두 약한 IASIs를 갖는 경우, $ \bar{C}_n $ 의 최소 단색색인 간선 수는 얼마인가?
• RQ4 $ r $-정규 그래프 $ G $ 에 대해, $ \bar{G} $ 가 약한 IASI를 갖는다면 $ \bar{G} $ 의 최소 단색색인 간선 수는 얼마인가?
• RQ5 자가여집합성은 약한 IASI 그래프와 그 여집합의 단색색인 간선 수에 어떤 제약을 가하는가?

주요 결과

• 두 약한 IASI 그래프 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 의 합집합 $ G_1 \cup G_2 $ 는 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 가 모두 약한 IASI 그래프일 때에만 약한 IASI를 갖는다.
• 합집합의 스파링 수는 $ \varphi(G_1 \cup G_2) = \varphi(G_1) + \varphi(G_2) - \varphi(G_1 \cap G_2) $ 로 주어지며, 겹치는 단색색인 간선를 고려한다.
• 사이클 $ C_n $ 의 여집합 $ \bar{C}_n $ 이 약한 IASI를 갖는다. 유일한 조건은 $ C_n $ 이 1보다 큰 집합색인 번호를 가진 정점이 최대 하나뿐일 때이다.
• 사이클 $ C_n $ 과 $ \bar{C}_n $ 이 모두 약한 IASI 그래프일 경우, $ \bar{C}_n $ 의 최소 단색색인 간선 수는 $ \frac{1}{2}n(n-3) $ 이다.
• $ r $-정규 그래프 $ G $ 에 대해, $ \bar{G} $ 가 약한 IASI를 갖는다면 $ \bar{G} $ 는 최소 $ \frac{1}{2}[(n-1)(n-2) - 2r] $ 개의 단색색인 간선을 포함한다.
• 자가여집합인 $ r $-정규 그래프 $ G $ 에서 $ G $ 와 $ \bar{G} $ 는 각각 최소 $ \frac{1}{2}r(2r-1) $ 개의 단색색인 간선을 포함한다.