[論文レビュー] Weak* sequential closures in Banach space theory and their applications

Mikhail I. Ostrovskii|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Advanced Banach Space Theory参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可分なバナッハ空間の双対空間における弱*逐次閉包を調査し、部分空間が特定の順序数段階で閉包に達するための条件を確立する。任意の可算順序数 α に対して、(c₀)* = ℓ₁ の部分空間で、弱*逐次閉包が順序数 α に達するものが存在することを証明し、これを用いて連続線形作用素の逆作用素のボレル階層における分類を実施する。

ABSTRACT

Let X be a Banach space. Given a subset A of the dual space X* denote by $A_{(1)}$ the weak* sequential closure of A, i.e., the set of all limits of weak*-convergent sequences in A. The study of weak* sequential closures of linear subspaces of the duals of separable Banach spaces was initiated by S.Banach. The first results of this study were presented in the appendix to his book "Theorie des operations lineaires" (1932). It is natural to suppose that the reason for studying weak* sequential closures by S. Banach and S. Mazurkiewicz was the lack of acquaintance of S. Banach and his school with concepts of general topology. Although the name "General topology" was introduced later, the subject did already existed. F. Hausdorff introduced topological spaces in his book published in 1914, Alexandroff-Urysohn (1924) studied compactness, and A.Tychonoff published his theorem on compactness of products in 1929. Also J.von Neumann introduced the notion of a weak topology in his paper published in 1929. Using the notions of a topological space and the Tychonoff theorem, more elegant treatment of weak and weak* topologies, and the duality of Banach spaces was developed by L.Alaoglu, N.Bourbaki and S.Kakutani (1938-1940). Nevertheless, an "old-fashioned" treatment of S.Banach still attracts attention. It happens because the "sequential" approach is very useful in several contexts. The main purpose of the paper is to describe the history of this direction of research and to give an up-to-date (1999) survey of the results on weak* sequential closures and their applications.

研究の動機と目的

• 可分なバナッハ空間の双対空間における全部分空間の弱*逐次閉包の構造を研究すること。これは調和解析、不適切な問題、作用素論への応用を動機としている。
• バナッハが提起した未解決問題、すなわち部分空間の弱*逐次閉包が常にさらなる逐次極限について閉じているかどうかを解明すること。
• 可分なバナッハ空間の双対空間における部分空間が、与えられた順序数段階で弱*逐次閉包に達する条件を同定すること。
• 弱*逐次閉包順序と連続線形作用素の逆作用素のボレル複雑度との間の関係を確立すること。
• 関数空間、特に L₁(0,1) および関連空間において、任意に大きな弱*逐次閉包順序を有する部分空間の存在を保証する十分条件を提示すること。

提案手法

• 弱*逐次閉包の超限反復を用いる：部分空間 A ⊂ X* に対して A_(α) を、β < α なるすべての (A_(β))_(1) の和集合として定義する。
• バナッハの基準を適用する：A = A_(1) であることは、X* ∓ A に属する各 f に対して、f(x) = 1 かつすべての a ∈ A に対して a(x) = 0 を満たす x ∈ X が存在することと同値である。
• 各 x ∈ X に対して、||f|| ≤ M かつ |f(x)| = ||x|| を満たす f ∈ A が存在するような一様有界定数 M が存在することを用いて、A_(1) = X* であるための特徴づけを行う。
• 部分空間 L ⊂ F* の単位球における弱*稠密な列を用いて、解析的核を持つ積分作用素 T: F → G を構成し、その逆作用素が所望のボレルクラスに属することを保証する。
• 関数 f が共通領域 Δ ⊃ [0,1] で正則かつ有界であることを用いて、F を L₁(0,1) に埋め込み、F* 上の汎関数を生成する。
• 双対性の議論を適用する：F の元を U ⊂ F* 上の汎関数として特定し、W ⊂ U* として部分空間を形成する。U* における cl(W) の無限次元余次元を用いて、任意の閉包順序を有する部分空間の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた可算順序数 α に対して、A ⊂ (c₀)* = ℓ₁ で A_(α) ≠ A_(α+1) となる部分空間 A が存在するか？
• RQ2 可分なバナッハ空間 F 及びその双対部分空間 U ⊂ F* に対して、U がすべての可算順序数 α に対して弱*逐次閉包順序 α を有する全部分空間を含むための条件は何か？
• RQ3 連続的単射線形作用素 T: F → G の逆作用素のボレル複雑度は、F* 内の部分空間の弱*逐次閉包順序によって特徴づけられるか？
• RQ4 全部分空間 L ⊂ F* が与えられた順序数段階 α に達する弱*逐次閉包に到達するための条件は何か？
• RQ5 弱*逐次閉包を用いて、所望のボレルクラスに属する逆作用素を持つ積分作用素をどのように構成できるか？

主な発見

• 任意の可算順序数 α に対して、A ⊂ (c₀)* = ℓ₁ で A_(α) ≠ A_(α+1) となる部分空間 A が存在する。これは、任意に高い弱*逐次閉包順序を有する部分空間の存在を裏付ける。
• 可分なバナッハ空間 X の双対空間における部分空間 A ⊂ X* に対して、A = A_(1) であることは、X* ∓ A に属する各 f に対して、f(x) = 1 かつすべての a ∈ A に対して a(x) = 0 を満たす x ∈ X が存在することと同値である。
• A_(1) = X* であるための必要十分条件は、各 x ∈ X に対して、||f|| ≤ M かつ |f(x)| = ||x|| を満たす f ∈ A が存在するような一様有界定数 M > 0 が存在することである。
• F* における F の像の双対性による閉包 cl(W) が U* において無限次元余次元を有するならば、U はすべての可算順序数 α に対して弱*逐次閉包順序 α を有する全部分空間を含む。
• 順序数 α の全部分空間 L ⊂ U と、解析的拡張条件を満たす関数空間 G に対して、解析的核を持つ積分作用素 T: F → G が存在し、T⁻¹ はボレルクラス α に属するが、いかなる低次のクラスにも属さない。
• 本結果は、メンイケスおよびプリッホコによる先行研究を一般化し、無限回微分可能な核と、ボレルクラス 1 に属さない逆作用素を有する積分作用素の存在を示している。