[論文レビュー] Weak vorticity formulation for the incompressible Euler equations in domains with boundary

Dragoş Iftimie, Milton C. Lopes Filho+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ領域における2次元非圧縮性Euler方程式の弱い渦度形式を導入し、渦度と境界循環を動的変数として用いることを可能にする。符号の仮定なしに弱い速度形式と弱い渦度形式の等価性を確立し、非負の渦度が境界に吸収されるが生成されないことを証明する。循環保存はより強い解の性質を示す。

ABSTRACT

In this article we examine the interaction of incompressible 2D flows with compact material boundaries. Our focus is the dynamic behavior of the circulation of velocity around boundary components and the possible exchange between flow vorticity and boundary circulation in flows with vortex sheet initial data We begin by showing that the velocity can be uniquely reconstructed from the vorticity and boundary component circulations, which allows to recast 2D Euler evolution using vorticity and the circulations as dynamic variables. The weak form of this vortex dynamics formulation of the equations is called the weak vorticity formulation. The main result in this article is the equivalence between the weak velocity and weak vorticity formulations, without sign assumptions. Next, we focus on weak solutions obtained by mollifying initial data and passing to the limit, with the portion of vorticity singular with respect to the Lebesgue measure assumed to be nonnegative. For these solutions we prove that the circulations around each boundary component cannot be smaller than the initial data circulation, so that nonnegative vorticity may be absorbed by the boundary, but not produced by the boundary. In addition, we prove that if the weak solution conserves circulation at the boundary components it is a boundary coupled weak solution, a stronger version of the weak vorticity formulation. We prove existence of a weak solution which conserves circulation at the boundary components if the initial vorticity is integrable. In addition, we discuss the definition of the mechanical force which the flow exerts on material boundary components and its relation with conservation of circulation. Finally, we describe the corresponding results for a bounded domain with holes, and the adaptations required in the proofs.

研究の動機と目的

• コンパクトな物質的境界を持つ領域において、2次元非圧縮性Euler方程式を渦度と境界循環を動的変数として定式化すること。
• 初期渦度に符号の条件を要しない弱い速度形式と弱い渦度形式の等価性を確立すること。
• 非負の特異的渦度を有する滑らか化された初期データから得られる弱解における、境界成分回りの循環の振る舞いを分析すること。
• 流れが境界成分に及ぼす力学的力を定義し、それを循環保存と関連付けること。
• 結果を複数の穴を持つ有界領域に拡張し、証明をそれに適応すること。

提案手法

• Delortの定理における補間コンパクトネスの議論を外部領域に適応し、滑らか化された初期データを用いて弱解を構成する。
• 弱い渦度形式を、速度を渦度と境界循環から再構成するEuler方程式の再定式化として定義する。
• 多重連結領域における調和ベクトル場とグリーン関数を用いて、速度および渦度カーネルの正則性と減衰を分析する。
• 切り捨て関数と補助的調和関数を用いて、有界領域および外部領域におけるグリーン関数の勾配に対する点ごとの評価を確立する。
• 非負の特異的渦度を有する初期データを滑らか化して得られる解が、循環の下界を満たすことを証明し、境界による循環生成を防ぐ。
• 「境界結合型弱解」という概念を導入し、各境界成分における循環保存を特徴とする、より強い弱い渦度形式のバージョンとして定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つ領域において、2次元非圧縮性Euler方程式を渦度と境界循環を動的変数として再定式化できるか？
• RQ2 初期渦度に符号の条件を要しない弱い渦度形式と弱い速度形式は等価か？
• RQ3 非負の特異的渦度は境界に吸収されるか？また、境界成分回りの循環は保存されたり、下から抑えられるか？
• RQ4 流れが物質的境界成分に及ぼす力学的力は何か？それは循環保存とどのように関係するか？
• RQ5 結果は複数の穴を持つ有界領域にどのように拡張できるか？証明に必要な修正は何か？

主な発見

• 符号の仮定なしに弱い渦度形式と弱い速度形式が等価であることが示され、Delortの結果が境界を持つ領域に拡張される。
• 非負の特異的渦度を有する初期データを滑らか化して得られる弱解において、各境界成分回りの循環は初期値以下に抑えられる。これは、渦度が境界に吸収されるが生成されないことを意味する。
• すべての境界成分で循環が保存される弱解は「境界結合型弱解」として特徴づけられ、より優れた正則性と物理的整合性を持つより強い解のクラスである。
• 初期渦度が$L^1$に属する、すなわち特異的成分が消えるとき、境界成分での循環を保存する弱解の存在が証明される。
• 流れが境界成分に及ぼす力学的力は適切に定義され、循環の時間微分と関連づけられ、保存が成立すれば力のバランスが成立する。
• $N$個の穴を持つ有界領域への結果の拡張は帰納的議論により可能であり、切り捨て技術と境界の正則性を用いてグリーン関数およびその勾配に対する一様推定が確立される。