[論文レビュー] Weak weak quenched limits for the path-valued processes of hitting times and positions of a transient, one-dimensional random walk in a random environment

Jonathon Peterson, Gennady Samorodnitsky|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、確率的環境における一次元非再帰的ランダムウォークの到達時間および位置の経路値過程について、弱い弱いクエンチド極限を確立する。到達時間のクエンチド分布を確率測度空間上の確率測度として分析することで、著者らは分布収束が確率的測度に至ることを証明し、従来の周辺極限結果を全経路過程へと拡張し、ランダムウォーク自体の経路に対しても弱い弱いいくちド極限を可能にする。

ABSTRACT

In this article we continue the study of the quenched distributions of transient, one-dimensional random walks in a random environment. In a previous article we showed that while the quenched distributions of the hitting times do not converge to any deterministic distribution, they do have a weak weak limit in the sense that - viewed as random elements of the space of probability measures - they converge in distribution to a certain random probability measure (we refer to this as a weak weak limit because it is a weak limit in the weak topology). Here, we improve this result to the path-valued process of hitting times. As a consequence, we are able to also prove a weak weak quenched limit theorem for the path of the random walk itself.

研究の動機と目的

• 従来の周辺到達時間分布に関する弱い弱いいくちド極限結果を、全経路値過程の到達時間へと拡張すること。
• 確率的環境における非再帰的ランダムウォークの経路に対する弱い弱いいくちド極限を確立すること。
• 到達時間および位置のクエンチド分布を確率測度空間上の確率的要素として分析すること。
• クエンチド法則が決定的極限に収束しないにもかかわらず、弱位相において確率的測度に分布収束することを示すこと。
• 平均化された極限分布に関する以前の結果を統合・一般化し、重尾スケーリング下でのクエンチド経路行動を統合すること。

提案手法

• 著者らは、クエンチド到達時間過程を右連続で不連続な関数の確率測度空間上の確率的要素としてモデル化する。
• 環境内のラダー位置に基づくブロック分解を用いて相関を制御し、測度変換の下でマルティンゲール技法を適用する。
• 重要なステップとして、環境をラダー位置まで条件づけ、マルコフ性を用いて到達時間過程の条件付き増分のモーメント評価を導出する。
• この手法は、ラダー位置が再生過程を形成し、環境ブロックがi.i.d. となるようにする定常環境測度 $ Q $ への測度変換に依存する。
• 条件付き期待値および分散の指数的尾部評価とモーメント推定を導出し、緊密性および分布収束を可能にする。
• 条件付き測度の下で一様可積分性の議論とチェビシェフの不等式を適用して、経路過程の揺らぎを制御し、確率的極限測度への分布収束を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到達時間の全経路のクエンチド分布は、弱位相において確率的極限測度に分布収束するか？
• RQ2 周辺到達時間分布に関する弱い弱いいくちド極限結果を、到達時間の経路値過程へと拡張できるか？
• RQ3 適切なスケーリング下で、確率的環境における非再帰的ランダムウォークのクエンチド経路の極限挙動はいかなるものか？
• RQ4 到達時間のクエンチド法則は、確率測度空間上の確率的要素としてどのように振る舞うか？
• RQ5 弱位相で見た場合、クエンチド経路過程に非退化な確率的極限が存在するか？

主な発見

• 到達時間のクエンチド経路値過程は、弱位相において右連続で不連続な関数の空間における確率測度に分布収束する。
• 極限の確率測度は非退化的であり、弱い弱いいくちド極限として生じる。これは、確率的測度の分布収束としての極限であることを意味する。
• 収束はすべての $ \theta \neq 1 $ に対して成り立ち、極限挙動を支配する安定分布の指数 $ \theta $ に応じて、中心化およびスケーリングが異なる。
• この結果は、ランダムウォーク自体の経路に対しても弱い弱いいくちド極限が成り立つことを示唆し、周辺極限定理を全軌道へと拡張する。
• 証明は、ラダー位置が再生過程を形成し、環境ブロックがi.i.d. となる定常環境測度 $ Q $ への測度変換に依存する。
• 著者らは、条件付き増分のモーメント評価と指数的尾部推定を用いて緊密性および収束を確立し、確率的極限測度への分布収束を保証する。