[論文レビュー] Weakly countably determined spaces of high complexity

Antonio Avilés|ArXiv.org|Mar 4, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Reznichenkoの木の族を用いて、記述的集合論的複雑性がcoanalytic集合を越える弱く可算決定的（WCD）バナッハ空間の存在を確立する。Talagrandの適切な族技術はcoanalytic複雑性に限定されるが、Reznichenko族は任意の高いプロジェクト型階層のレベルでのWCD空間の構成を可能にし、WCD空間がcoanalytic複雑性を超えることができるかという未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that there exist weakly countably determined spaces of complexity higher than coanalytic. On the other hand, we also show that coanalytic sets can be characterized by the existence of a cofinal adequate family of closed sets. Therefore the Banach spaces constructed by means of these families have at most coanalytic complexity.

研究の動機と目的

• 弱く可算決定的（WCD）バナッハ空間が記述的集合論的複雑性をcoanalyticを越えて持てるかどうかを調査すること。
• Talagrandの適切な族技術が、高複雑性のWCD空間を構成する際にどのような制限を受けるかを特定すること。
• Reznichenkoの木の族が、それらの制限を克服し、任意に高いプロジェクト型階層のレベルでのWCD空間を構成できることを示すこと。
• プロジェクト型クラス Σ₁ⁿ⁺¹ および Π₁ⁿ を用いて、WCD空間の記述的複雑性を特徴付けること。
• WCD空間がcoanalytic複雑性を超えることができるかどうかという未解決問題を解決し、プロジェクト型階層のすべてのレベルでそのような空間が存在することを示すこと。

提案手法

• 本論文は、C を分離可能な距離空間の族とする弱く C 決定的バナッハ空間の枠組みを導入し、ω<ω に添え字付けられた双対双対空間内の弱*コンパクト集合の族を用いて WCD 空間を定義する。
• Talagrandの適切な族技術を分析し、このような族が常に coanalytic 複雑性の WCD 空間しか生成できないことを証明し、coanalytic 集合の位相的特徴付けを確立する。
• Argyros, Arvanitakis, および Mercourakis が用いた、木の族における Reznichenko 族の技術を採用し、より高い複雑性の WCD 空間を構成する。
• 木の族 F に対して、関数 f: T → A を決定関数と定義し、A が Π₁ⁿ⁻¹ 完全集合であるとき、そのような関数が存在しないことを背理法で証明することで、空間が弱く Σ₁ⁿ 決定的でないことを示す。
• 証明では、木 T を閉包集合 D_s に分解し、逐次的密度に関する補題を適用することで、決定関数が存在する場合に矛盾を導く。
• wf(A) = Tr \ S（S は分岐関係の射影）が Π₁ⁿ に属することを示し、これにより C(R[F_A]) が弱く Σ₁ⁿ⁺¹ 決定的であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く可算決定的バナッハ空間は、記述的集合論的複雑性が coanalytic を厳密に超えることができるか？
• RQ2 Talagrandの適切な族技術は、coanalytic を超える複雑性のWCD空間を構成するのに十分か？
• RQ3 Reznichenkoの木の族を用いて、プロジェクト型階層の任意に高いレベルでのWCD空間を構成できるか？
• RQ4 すべての n ≥ 1 に対して、弱く Σ₁ⁿ 決定的と弱く Σ₁ⁿ⁺¹ 決定的バナッハ空間のクラスの間に分離が存在するか？
• RQ5 A が Π₁ⁿ⁻¹ 完全集合であるとき、空間 C(R[F_A]) の記述的複雑性は何か？

主な発見

• coanalytic でない弱く可算決定的バナッハ空間が存在し、WCD空間がcoanalytic複雑性を超えることができることを示している。
• Talagrandの適切な族技術は本質的にcoanalytic複雑性のWCD空間しか生成できないことが、coanalytic集合の位相的特徴付けによって示された。
• Reznichenkoの木の族は、任意に高いプロジェクト型階層のレベルでのWCD空間の構成を可能にする。
• すべての n ≥ 1 に対して、弱く Σ₁ⁿ⁺¹ 決定的だが弱く Σ₁ⁿ 決定的でないバナッハ空間が存在することを示し、プロジェクト型クラスの完全な分離を証明した。
• A が Π₁ⁿ⁻¹ 完全集合であるとき、空間 C(R[F_A]) は弱く Σ₁ⁿ⁺¹ 決定的であり、その複雑性は wf(A) ∈ Π₁ⁿ によって特徴づけられる。
• Reznichenko族 F_A に対して、関数 f: T → A が存在しないことは、空間 C(R[F_A]) が弱く Σ₁ⁿ 決定的でないことを意味し、分離結果が確認された。