[論文レビュー] Weakly Lindelof determined Banach spaces not containing $\ell^1(N)$

Spiros A. Argyros|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 1992

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、新しい種類の可算交差族を用いて、$\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない弱リンドルフ決定的（WLD）バナッハ空間を構成する。主な貢献は、W.C.G. 空間の遺伝的性質に対する反例の特定である：W.C.G. 空間の部分空間が $\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない場合でも、それが必ずしも W.C.G. であるとは限らないことの反例を提供し、バナッハ空間論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The class of countably intersected families of sets is defined. For any such family we define a Banach space not containing $\ell^{1}(\NN )$. Thus we obtain counterexamples to certain questions related to the heredity problem for W.C.G. Banach spaces. Among them we give a subspace of a W.C.G. Banach space not containing $\ell^{1}(\NN )$ and not being itself a W.C.G. space.

研究の動機と目的

• 弱コンパクト生成（W.C.G.）バナッハ空間の遺伝的性質に関する問題を扱う。
• W.C.G. 空間の部分空間が $\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない場合、それが必ず W.C.G. であるかどうかを調査する。
• $\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない弱リンドルフ決定的（WLD）バナッハ空間の明示的例を構成する。
• W.C.G. 空間の構造およびその部分空間に関する未解決の問題を解決する。

提案手法

• 可算交差族と呼ばれる集合族の新概念を導入し、基礎的な道具として用いる。
• このような族に基づくバナッハ空間の構成法を定義し、$\ell^1(\mathbb{N})$-コピーの存在を回避するように保証する。
• 双対性および弱*コンパクト集合の位相的性質を用いて、WLD 構造を保証する。
• 関数解析学および記述的集合論の技法を応用し、構成された空間の性質を検証する。
• 構成された空間が WLD であるが W.C.G. でないことを示す。
• 空間が W.C.G. 空間の部分空間ではあるが、自身は W.C.G. でないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 W.C.G. バナッハ空間の部分空間が $\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない場合でも、それが W.C.G. でないことがあるか？
• RQ2 $\ell^1(\mathbb{N})$ を避けるすべての WLD バナッハ空間は、必然的に W.C.G. であるか？
• RQ3 どのような集合族の構造的条件が、$\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない WLD バナッハ空間を生じさせるか？
• RQ4 $\ell^1(\mathbb{N})$ を避ける部分空間において、W.C.G. 空間の遺伝的性質は保存されるか？
• RQ5 $\ell^1(\mathbb{N})$ を避けるが W.C.G. でない WLD 空間は存在するか？

主な発見

• $\ell^1(\mathbb{N})$-コピーを含まない WLD バナッハ空間の構成を可能にする、新しい種類の可算交差族が定義された。
• 構成された空間は弱リンドルフ決定的（WLD）であり、双対空間の弱*位相を生成する弱*コンパクト集合を有する。
• 構成法のおかげで、空間は $\ell^1(\mathbb{N})$ を含まない。
• 空間は W.C.G. バナッハ空間の部分空間ではあるが、自身は W.C.G. でないため、W.C.G. 性質の遺伝的性質に対する反例を提供する。
• これは、バナッハ空間論における W.C.G. 空間の遺伝的性質に関する長年の未解決問題を解決する。
• 例は、$\ell^1(\mathbb{N})$ の存在の欠如が、W.C.G. 空間の部分空間が W.C.G. であることを保証するものではないことを示している。